例談課本例題模型的開發與應用

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showElementsTop(0); 新課程倡導民主、開放、科學的課程觀念，這就要求課程必須與教學相互整合，教師不能隻成為課程實施中的執行者，教師更應成為課程的建設者和開發者。因此，如何利用好教材，充分發揮教材的功能成為擺在廣大教育工作者面前的一個重要課題。 在《義務教育課程標準實驗教科書·八上》第81頁有這樣一道例題： 如圖,一架長為10米的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米。如果梯子的頂端下滑1米，那麼它的底端也將滑動1米嗎？ 這道例題編者目的是談勾股定理的應用，但它為我們提供瞭一個非常好的運動變化問題的模型：一條定線段AB沿一直角∠ACB的兩邊滑動，對此加以探究、利用，可編擬出不少新題、好題。 探究一、將定線段AB置於△ABC中，當線段AB滑動時探究頂點C的變化情況。 例1．如圖1-1，在平面直角坐標系中，已知在Ｒt△ABC中，AC=3，BC=4，剛開始的時候，Ｒt△ABC的斜邊AB在y軸的正半軸上，一直角邊AC在射線OP上，且頂點A與原點重合，隨著頂點A由O點出發沿OX滑動（點A始終在X軸上），頂點B也沿著y軸向點O滑動；這樣，頂點C的位置也相應改變；如圖所示，得到Ｒt△A′B′C′。 （1） 當頂點A的滑動距離OA=3時，頂點B下滑的距離是多少？ （2） 設點C的橫坐標為m，問在滑動過程中，頂點C是否總在射線OP上？若在，請 　　加以證明，並求出m的取值范圍；若不在，請說明理由。 　　（3）在（2）的情況下，當頂點B下滑到點O處（即B、O兩點重合）時，頂點C在從滑動開始到結束的整個過程中移動的路程是多少？ 分析： 在原圖中，很難看出點C的位置的改變有什麼規律，我們不妨做一張△ABC紙片，然後將紙片按照要求移動，在運動中觀察、比較、分析，我們可以很容易的發現在運動中哪些量在改變，哪些量是不變的；也可以尋找到頂點C的運動軌跡應是一條線段，且點C移動到圖1-2中C1位置最遠，然後又慢慢移動到C2結束，點C經過的路程應是線段CC1+C1C2，因為有瞭具體的紙片的移動，所以我們對問題的解決有瞭更加清晰和具體的認識。 略解： （1）OB=，點B下滑的距離是； （2）頂點C在滑動過程中的運動軌跡是線段CC1，利用相似形的有關知識，可以求得點C的縱坐標是， （3）點C移動的路程是CC1+C1C2=（5-3）+（5-4）=3 探究二、將△ABC置於圓中，當定線段AB滑動時探究頂點C的變化情況。 例2．（揚州市2006年初中畢業、升學統一考試數學試題） 圖2-1是用鋼絲制作的一個幾何探究工具，其中△ABC內接於⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=3．現將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖2-2），然後點A在射線OX上由點O開始向右滑動，點B在射線OY上也隨之向點O滑動（如圖2-3），當點B滑動至與點O重合時運動結束． 　　⑴ 試說明在運動過程中，原點O始終在⊙G上； 　　⑵ 設點C的坐標為（，），試探求與之間的函數關系式，並寫出自變量的取值范圍； 　　⑶ 在整個運動過程中，點C運動的路程是多少？ 分析與略解： 本題圓的運動與上題△ABC的運動有著異曲同工之妙，其思路也類似。 （1） 如圖2-3，由於AB為圓G的直徑，∠AOB=90°,故原點O始終在⊙G上。 （2） 過點C作CD⊥x軸於點D，作CE⊥y軸於點E,則易得△CAD∽△CBE，所以,可得y=（） （3） 點C運動的路程為 探究三、將線段AB一端A固定，當另一端點B在x軸上滑動時探究頂點C的變化情況。 例3．(鹽城市二○○六年高中階段教育招生統一考試數學試卷) 已知：如圖3-1，A（0,1）是y軸上一定點，B是x軸上一動點，以AB為邊，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，過B作BC⊥AB，交AE於點C. (1)當B點的橫坐標為時，求線段AC的長； (2)當點B在x軸上運動時，設點C的縱、橫坐標分別為y、x，試求y與x的函數關系式（當點B運動到O點時，點C也與O點重合）； (3)設過點P（0，-1）的直線l與(2)中所求函數的圖象有兩個公共點M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直線l的解析式． 解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝，由△ABO∽△ABC得，由此可求得：AC＝ 　　方法二：由題意知：tan∠OAB= 　　　　　　由勾股定理可求得 　　　(2)方法一：當B不與O重合時，延長CB交y軸於點D，過C作CH⊥x軸，交x軸於點H，則可證得AC＝AD，BD＝BC；由△ABO∽△BDO，則OB2＝AO×OD，即 化簡得：y=，當O、B、C三點重合時，y=x=0，∴y與x的函數關系式為：y= 　　方法二：過點C作CG⊥x軸，交AB的延長線於點H，則AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化簡即可得。 　　(3)設直線的解析式為y=kx+b，則由題意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，則有，由題設知：x12+x22-6(x1+x2)=8，代入解得：k1=2，k2=，經檢驗，k1=2、b=-1時，△>0，符合題意；∴所求的直線l的解析式為：y=2x-1 新課程給教師提供瞭一個廣闊的施展才華的舞臺,作為教師，要有強烈的課程意識和參與意識，改變以往學科本位觀念和消極被動執行的做法，認真鉆研教材，充分挖掘教材內涵，創造性地使用好教材，這樣才能使新課程改革順利推進。 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社