數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-信息技術為從不同角度看問題創造瞭條件 |
提要 以教科書中新增加的一道例題為例，通過在不同內容中的三次教學，反映出學生對變量關系認識的提高，從一個角度說明信息技術融入教材和教學，可以為學生從不同角度看問題創造條件． 主題詞 變量 身高 體重 數學是研究空間形式和數量關系的科學．而研究數量關系的一個主要方面又是研究兩個變量的關系．我國現行高中教材，分別從函數、數列、回歸分析三個角度對兩個變量的關系進行瞭研究．但過去囿於傳統的學習手段，相當數量的學生高中三年都難以從函數到數列到回歸分析，循序漸進地對兩個變量關系有一個系統的認識，特別是從確定關系發展到相關關系，不少學生更感到是一級難以跨越的臺階．自從學生利用信息技術學習之後，學習的內容和方式發生瞭變化，以往的狀況得到瞭改變．這種改變主要體現在三個階段的學習中： 一、函數學習為數列和回歸分析的學習奠定基礎 人民教育出版社《全日制普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（上）》（下稱《必修》）“2.9函數的應用舉例”和《普通高級中學實驗教科書（信息技術整合本）數學第一冊（上）》（下稱《整合本》）“2.9函數的應用舉例 建立實際問題的數學模型”中，都有這樣一道例題： 以下是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 體重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根據表中提供的數據，能否從我們已經學過的函數y = ax+b，y = alnx+b，y=abx中選擇一種函數，使它比較近似地反映出該地區未成年男性體重y關於身高x的函數關系？試求出這個函數解析式． （2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低於0.8倍為偏瘦，那麼該地區某中學一男生身高175cm，體重78kg ，他的體重是否正常？ 這道題是2002年首先編入《整合本》，2003年才編入《必修》．對高一的學生來說，該題可以看作是一個函數擬合的問題，要解決這樣的問題，離開信息技術可以說是寸步難行的． 解決這個問題的第一步，就是要根據已知數表作出散點圖（圖1）．當學生用圖形計算器作出圖1後，在認知上產生瞭沖突，函數圖象怎麼會是離散的點？可以用圖象連續的函數來刻畫離散的點嗎？ 結合散點圖，學生對實際中的變量間的關系有瞭新的認識，兩個變量間的關系不一定滿足嚴格的函數關系，其圖象不僅可以是連續的直線或曲線，還可以是離散的點．這就為用函數的觀點研究數列問題，以及對離散點進行回歸分析奠定瞭基礎． 解決這個問題的第二步，就是要根據散點圖選擇合適的函數模型．這是建立函數模型，刻畫研究兩個變量函數關系的關鍵．究竟應該在y = ax+b，y = alnx+b，y=abx中，選擇哪種函數來反映體重與身高這兩個變量的關系，這不同於以往那樣，根據已知條件建立等量關系，而是要在學生原有認知的函數基礎上進行選擇，並要求學生對這些函數有深刻的理解．這種通過選擇數學模型來刻畫變量關系的思想方法，是建立函數模型、數列模型和回歸模型的一種共同的思想方法． 解決這個問題的第三步，就是要根據已知數據求出函數解析式y=abx，即求a和b的值．一種方法是像《必修》一樣，按學生已有的認知，選擇兩組數據，通過列方程來求．但應該選擇哪兩組數據？學生產生瞭困惑．其實，無論選擇哪兩組數據都隻能近似地對實際變量進行描述．這就為今後認識回歸方程奠定瞭基礎．另一種方法是像《整合本》一樣，直接將全部數據輸入圖形計算器，由機器直接得出結果，所得結果可能比《必修》的精確．但圖形計算器是如何求出a和b值的？這給學生留下瞭懸念，同時又為建立回歸方程埋下瞭伏筆． 最後，還要對所求模型進行檢驗．這是建立實際問題的數學模型不可缺少的一步．學生可以通過將已知數據代入所得函數解析式y=2′1.02x，或作出所得函數的圖象（圖2），來檢驗所求函數能否較好地反映該地區未成年男性體重與身高的關系． 通過檢驗，學生會發現，盡管所得函數能較好地反映體重與身高這兩個變量的關系，但畢竟還與實際存在誤差．其實，對於許多實際問題，都難以建立數學模型，而對於那些可以建立數學模型的實際問題，又大多隻能建立近似的數學模型，能被數學模型精確刻劃的實際問題畢竟不多．這就為今後學習變量的不確定關系奠定瞭基礎． 上述這種求函數模型的方法，與後面要學的回歸分析的方法是一致的，其中用到的散點圖又成瞭函數、數列、回歸分析知識的一個交匯點，這就使得函數的學習為數列和回歸分析的學習奠定瞭基礎． 二、數列學習註重與函數的聯系 由於有信息技術的支持，就為學生在數列的學習中保持與函數的聯系創造瞭更為有利的條件．在引入數列的概念時，教師用的就是一個定義域為正整數集的函數實例，並從解析式、圖象、表格三個方面進行誘導．並在數列的整個教學過程中，都強調與函數的聯系．這就使得學生從一開始，就對數列是一種定義域為正整數集的函數有瞭認識，並能夠像函數一樣地對數列進行多元聯系表示，用函數的思想方法來分析和思考數列的問題． 在課堂上，當老師再次把“2.9函數的應用舉例 建立實際問題的數學模型”中的例子拿出來時，學生給出瞭下列三種表示（圖3）： 此時，學生對這一問題的認識，比學函數時更全面瞭．他們認為，如果將身高看作是取連續值的變量時，就應該從函數的角度來描述體重與身高的關系；如果將身高看作是取離散值的變量時，就既可以從函數的角度來描述體重與身高的關系，也可以從數列的角度來描述體重與身高的關系． 通過信息技術的使用，在數列的學習過程中，學生豐富瞭函數的內容，加深瞭對數列的理解，進而在對兩個變量關系的認識上有瞭新的發展，開始學會從不同的角度來研究客觀世界中的變化規律． 三、在回歸分析的學習中反思函數和數列的學習 有瞭上述函數和數列學習的基礎，再對變量的關系進行回歸分析時，學生對變量間的確定關系和不確定關系就容易形成辯證的認識．在回歸分析的教學中，教師又一次與學生一起對“2.9函數的應用舉例 建立實際問題的數學模型”中的例子進行研究．選擇y=c?edx來反映體重與身高的關系，令z＝ln y，a＝ln c，b＝d，通過線性回歸，可得到線性方程z＝0.019711x＋0.695 157，進而得到瞭新的解析式y=2.004 024e 0.019 711x及其曲線（圖4）．學生從中學會瞭如何求與離散點最接近的圖象，放下瞭最初建立函數模型時留下的懸念，明白瞭當時圖形計算器是如何求出解析式y=abx中a和b的值（a＝2.004 024 ?2，b＝e 0.019 711 ?1.02）． 在對問題進行瞭回歸分析之後，教師讓學生把三次研究的過程和結果作瞭對比，經過回顧與反思，學生建立瞭函數、數列與回歸分析三者之間的聯系，對體重與身高兩個變量間的關系有瞭更深刻的認識． 同一個問題研究瞭三次，歷時兩年多的時間，利用信息技術為學生分別從函數、數列、回歸分析三個不同的角度，多元聯系地看問題創造瞭條件，讓學生對兩個變量關系的認識有瞭循序漸進的發展． |
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