數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-化歸思想方法 |
化歸思想方法(一)內容概要所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法．一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題變換轉化為已解決的問題．化歸思想方法的主要特點是它的靈活性和多樣性．一個數學問題，我們可以視其為一個數學系統或數學結構，組成其要素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，但其形式並非唯一，而是多種多樣．所以，應用數學變換的方法去解決有關數學問題時，就沒有一個統一的模式要遵循．在此正需要我們依據問題本身提供的信息，利用所謂的動態思維，去尋求有利於問題解決的變換途徑和方法，並從中進行一番選擇．數學高考試題註重“考基礎、考能力、考思想”．中學的數學教學也愈來愈重視對學生“用數學”的意識和能力的培養．所以，熟悉數學化歸的思想，有意識地運用數學變換的方法去靈活解決有關的數學問題，將有利於強化在解決數學問題中的應變能力，有利於提高解決數學問題的思維能力和技能、技巧．(二)例題解析分析 對u表達式進行等價變換並利用題設條件，有們通過等價變換將問題化為一個較簡單的新問題，而新問題是不難由平均值不等式去解決的．註 如果A經過邏輯推理或演算可推出B，反之又由B可經邏輯推理或演算推出A，則由A到B或者由B到A的邏輯推理或演算就稱為可逆的邏輯改變．在同一數學系統下，把所討論的問題中有關的命題或對象的表現形式做可逆的邏輯改變叫做等價變換．本例正是利用等價變換將u的表達形式轉化為容易處理的一種新形式．解數學題，等價變換是施用最多的一種變換，但等價變換也並非永遠可行的．譬如解分式時去分母、解無理方程時有理化、解超越方程時變量替換等等，都必須施行某些非等價變換來促使問題轉化．非等價變換也是一種極為有用的數學變換方法，運用得當時不但可以使解題成功，還能起到等價變換所無法解決的作用．分析 命題與自然數n有關，能否用數學歸納法去證呢？有經驗者會立即斷定：不能！而缺少經驗者也可由試用中發現用數學歸納法證是是第二步證明“歸納過渡”時，也即在“假設命題對n＝k成立”的前上，欲證不等式左方累和正數的項數不斷增加，而式子右方又是與n無關的常數，由此可發現采用數學歸納法直接證是不行的．我們清醒看到這點後應尋求其它方法，我們從一般項入手，對其變形，放大拆項以求上面證法中，將每一項都稍做“放大”一點的處理，使之成為一系列新變換．當然使用“放縮”這種非等價變換時應十分小心其合理性，譬如對上例做如下變換是錯誤的：</PGN0444.TXT/PGN>因為第一步“放大”是不對的，(2n＋1)2＞8×2n-1僅僅對n≤4時成立．當n增大時指數函數(8×2n-1)比冪函數((2n＋1)2)增大得快．題強，而且新命題是可以采用數學歸納法證明的(這點請讀者自己去證)．這裡說明瞭利用轉化命題實現解題目的的一種思路．【例3】 是否存在常數a，b，c使得等式1×22＋2×32＋… 對一切自然數n成立？並證明你的結論．分析 最常規的解法是：先假定存在a，b，c使題設的等式對一切自然數n成立，於是可令n＝1，2，3分別代入等式得到關於a，b，c的三個條件等式，並可從中解出a＝3，b＝11，c＝10；然後再利10)，對b∈N成立．除此本例還有其它多種解法，其中“由題設等式左方出發，利用等價變換使其轉化為易於求和的形式，最後直接求出其和，同時確定瞭a，b，c的存在和具體取值”是較自然的思路．解 對題設等式左方的第k項做變形有k(k＋1)2＝k(k＋1)〔(k＋2)－1〕＝k(k＋1)(k＋2)－k(k＋1)將k＝1，2，…，n代入上式得n個等式……上述n式相加，得可見a，b，c存在，且a＝3，b＝11，c＝10時題設等式對一切自然數n成立．【例4】 平面直角坐標系上有一質點，已知該質點先繞坐標原點依逆時針旋轉60°，然後再沿x軸正方向平移2.5個長度單位，最後再質點原來所在的位置．解 在復平面上，設質點原在點Z(x，y)，繞原點依逆時針轉60°後到達點Z1，再沿x軸正向平移2.5個長度單位後到Z2，最後沿y軸負數z，z1，z2．由復數運算的幾何意義知註 上述解答中我們就應用瞭同構變換將一個質點運動問題轉化為復數的運算問題．實際上很多平面幾何問題都可以利用復數來解決，因為復數既可以看成復平面上的點，又可以看成平面向量．用模是1的復數作乘法代表著平面上的逆時針旋轉．正因這些，使得復數成為一種解幾何問題的有力工具．【例5】 平面上一定點P到等邊△ABC的頂點A，B的距離為AP＝2，BP＝3．試確定線段PC的長度的最大值．分析 不失一般性，可固定點A，令點B在以P為圓心，半徑為2的圓上轉動．為利用復數這一工具，令點A，B，C為復平面上點並分別對應於復數z1，z2，z3．當取定點P為坐標原點z＝0，且z1＝3解 如右圖取P為復平面原點，A在正實軸3處，並以2eiθ表示B．於是向量 就是復數：3－2eiθ，向量 就是復數z3＝2eiθ大長度5．【例6】 設x，y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的最值．由於|cost|≤1且函數隨cost增大而增大．易見，當t＝π即cost＝－1，x＝y＝0時，x2＋y2有最小值0；當t＝0，即cost＝1，x＝2，y＝0時，x2＋y2有最大值4．註 上述問題及其解答代表瞭一類問題的解題思路和方法，也即當動點(x，y)在二次曲線f(x，y)＝0上變動時，求函數u(x，y)的最值，常常可用二次曲線f(x，y)＝0的參數方程去求解．【例7】 設圓周上有n個點，現將任兩點間連一條弦，則圓域被諸弦劃分成為許多小區域，記小區域數的最大值為an，則a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，等等．試求an的計算公式(n為大於4的自然數)．分析 對於較小的具體的n而言，an的值可以通過畫圖後去數一數小區域數目而得出．當然，n為較大的具體值時這種求an的方法是不現實的．當n是抽象的自然數時，則無從“數”起，在此必須找出一種有效的計數方法．為瞭變換問題使之轉化為易解的新形式的方法，我們先看小區域是如何產生的？點多弦就多，弦多區域就多．再精細一點發現：開始時圓域為一個區域；增加一條弦且該弦與原有弦無交點時可增加一個區域；增加一條弦且該弦與原有弦有k個交點時可增加(k＋1)個區域(k＝1，2，…)．當添入弦與原有弦有k個交點時，我們將增加出的(k＋1)個區域中的k個視成k個交點所提供的，而剩下一個看成是該弦提供的．這樣總的增加出的區域數就等於“弦數”與“弦交點數”之和，所以，求an實際上可轉化為求“弦數”和“弦交點數”這樣一個新問題．而所謂區域數最大值的意思，無非是避免有“三弦交一點”的情況發生．解 由分析知，添入一弦若與原有弦有k個交點，則該弦使區域數增加(k＋1)個(k＝0，1，2，…)，如圖中虛線所示的弦．記圓周上n個點產生的弦數和最多的弦交點數分別為bn和cn，則有an＝1＋bn＋cn．點對應著兩條相交弦，而兩條相交弦又對應著圓周上的4個點，反之圓註 上例是一個計數的問題，解答的關鍵是將區域計數轉化為弦數和弦交點數的計數．如何實現如此的轉化正是解答很多排列組合應用問題的困難所在．因為眾多的實際應用問題中所含的“排列組合”的本質，從問題的表述中是很難發現的．正因如此，使得變換的方法在溝通問題表面形式與其本質間的聯系中顯得極為重要．【例8】 甲、乙兩隊各出6名隊員按事先規定的順序出場參加圍棋擂臺賽．雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方第2號隊員比賽，……直至某方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利．如此形成一種比賽過程．試求所有可能出現的比賽過程的種數．分析 如何簡單地描述一個具體的比賽過程呢？方法很多．我們記a1，a2，…，a6依次為甲隊1至6號隊員；b1，b2，…，b6為乙隊1至6號隊員．譬如，一種比賽過程為：“a1連勝b1，b2，b3後敗給b4；b4又勝瞭a2，a3但敗給瞭a4；b5勝a4；a5連勝b5，b6後甲隊勝利．”(下面用不同的方法來表示這種比賽過程)解法1 用比賽全過程中每階段的比分(甲∶乙)表示，有“1∶0，2∶0，3∶0，3∶1，3∶2，3∶3，4∶3，4∶4，5∶4，6∶4．”解法2 記甲方隊員ai勝乙方隊員的場次為xi(非負整數)，則上述比賽過程可表瞭為“x1＝3，x2＝x3＝0，x4＝1，x5＝2．”解法3 用雙方隊員的一種座次表示，敗陣隊員按敗的先後依次排列完後，接下去再按原出場順序排勝方未敗隊員，則上述比賽過程可表示為字母列b1b2b3a1a2a3b4a4b5b6a5a6．在第三種解法中，因為雙方隊員出場是事選確定的．故ai(或bi)在字母列出現次序必定是1，2，3，4，5．所以，字母列更為本質的表示為“6個a與6個b這12個元素的一種全排列”．這樣比賽過程的計數就轉化為字母列種數的計算，顯然後者是十分容易的．解 由分析知原問題的等價問題是“6個a和6個b這12個元素可所以所有可能的比賽過程有924種．分析 用純代數法求解難以完成，應設法將問題變換轉化．經觀察，離．又因為故動點P在圓x2＋y2＝2上，而動點Q在雙曲線xy＝9上．問題又進一步明確為“求圓x2＋y2＝2和雙曲線xy＝9間的最短距離”．慮Q點在雙曲線xy＝9位於第一象限的那一支(x＞0，y＞0)．如圖所示，設Q(x，y)為xy＝9(x＞0)上任一點，易見點P應在圓心O與Q的連線上，因為由三角形兩邊和大於第三邊知，對P，P′而言有OP′＋P′Q＞OP＋PQ；P′Q＞PQ，於是可先求|OQ|的最註 如果將本例中的圓和雙曲線寫成參數方程後代入題設中的函們的本質卻是一樣的，解題的頭一步工作就要善於利用變換促使問題轉化為最易求解的形式．分析 本題可以利用有關的組合恒等式去直接求和，在(1＋x)n的展開式中令x＝1就有而欲求和式的每項前各有互不相等的系數，如何將系數化為相同是②的正確性是易見的，因為利用上述結果代入和式，有註 上面解法利用瞭等價變換，實際上還可以用更為新穎的變換思路去求解．本例屬於純數學題，對此我們可以從題設出發，通過觀察、聯想、類比、模擬等思維活動，給“純數學題”中的數量關系或空間形式賦以適當的實際意義，構造問題相應的現實原型，使問題的求解化難為易．本例給出的和式等價於式中共有n項，每項為3數之積．我們設想完成某件事有n類辦法，每類辦法又需3個步驟，於是S就是完成這件事的不同方法的種數．譬如“從某班級n個學生中任選k(1≤k≤n)人參加聯歡會，並從k人中確定1人表演獨唱，1人表演朗誦(可以兼任)，問共有多少不同選法．解法為先選出表演者，再選其他參加聯歡會的學生．若獨唱和朗誦因兩種解法應該結果相同，故有上述解法反映瞭構造現實原型去解純數學題的變換方法． 上一篇范文： 分類討論的思想方法下一篇范文： 數形結合的思想方法 分享到： |
没有评论:
发表评论