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函數·易錯點評析【例1】 若對於x、y∈R，已知f(x)、g(x)滿足：g(x－y)=g(x)g(y)＋f(x)·f(y)且f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，求：①g(0)；②g(1)；③g(2)．易錯分析 不會選取特殊值而產生錯誤，在運算中對函數符號概念沒有深刻理解而發生錯誤，甚至有的學生不知道該用哪些字母表達定義域，哪些符號表達值域，在計算中發生錯誤．發生錯誤的原因：對函數結構式的認識不清，選取自變量的數值不知如何去選，或選出之後，求不出正確的答案，越算越亂而失掉信心，也有的學生對選取特殊值能表達一般規律有懷疑，而不能大膽地選取．在平時練習中也半信半疑，從而影響解題的能力．解決的辦法：凡是這種類型題選取的特殊值不可能很大，一般講，給出的關系式化簡，隻要能化簡，就可以試選．由於x，y∈R，選取特殊值能代表一般規律，但我們也要去論證，例如講完二項式定理之後，即獲得瞭一個重要性質：這個式子表達瞭一般規律，而且有廣泛的應用．解答 ①由g(x－y)=g(x)g(y)＋f(x)f(y)，令x＝y=0，則g(0)=g(0)g(0)＋f(0)f(0)，因為f(0)＝0，所以g(0)＝g2(0)，所以g(0)=0，或g(0)=1，但若 g(0)＝0，對原等式令x=y＝1，則有g(1－1)＝ g(1)g(1)＋f(1)f(1)，因為f(1)＝1，所以 g(0)＝g2(1)＋1，於是，0＝g2(1)＋1，這是不可能的，故 g(0)=0不成立，所以g(0)=1．②令x=y＝1，由g(x－y)=g(x)g(y)＋f(x)f(y)，有g(0)＝g2(1)＋1，而由①可知，g(0)＝1，所以1＝g2(1)＋1，所以g2(1)＝0，所以g(1)＝0．③令x=1，y＝－1，由g(x－y)=g(x)g(y)＋f(x)f(y)，有g(2)＝g(1)g(－1)＋f(1)f(－1)，而g(1)＝0，f(1)=1，f(－1)＝－1，所以g(2)＝－1．註 (1)本題考查函數結構式自變量取值的技能技巧．因為x、y∈R，為瞭求出題目中所要求的數據，必須取特殊值，如何選取特殊值就能觀察出學生數學水平的高低．(2)考查函數結構式的變換能力及學生解題能力．(3)考查學生排根能力．本題在解方程時，得出瞭g(0)＝0或 g(0)=1的兩個根，經過驗算應該把g(0)=0排除．關於這一點的總體思想，在高中數學中幾乎到處都在考查，如考查函數的定義域的取舍、解析幾何中軌跡方程的限定等．對於數學素質一般的學生，往往在上面所講的項目中出現錯誤．易錯分析 產生錯誤的原因是限於教材，學生隻學習過一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等，以上這些函數圖象絕大部分學生都會畫出圖象．本題的函數，若深刻、徹底研究，必須借助於高等數學．初等數學基礎不紮實，就不知從何處入手．比如分母可以縮成(x＋1)2，分母不能為零，也就是x≠－1，從此即可斷定函數圖象的漸近線為x＝－1．有漸近線圖象就好畫瞭．解決的辦法是把此類型的函數可以集中起來，研究其共性，本題先找出漸近線，然後把分式改寫成整式，用判別式法，求出極大值，再根據y＞0或y＜0依據七點法把圖象畫出．有的用分式分部法、拆項法，把原函數是由哪些曲線組成看得很清楚，用疊加法也可以很正確地畫出圖象．解答 分母可以改寫為(x＋1)2，若x=－1，分母有零點，故曲線分兩支，以x=－1為漸近線．在x=－1附近區域y＜O，故曲線向下方伸展(如圖所示)，把原式改寫成整式形式，即yx2＋(2y－1)x＋y＋1=0，其判別式Δ≥0，得(2y－1)2－4y(y＋1)≥0，當x＞3時，y＞0，這表明最高點右邊的曲線在x軸上方，當x＜－1時，y＜0，這表明曲線左支在x軸下方．與坐標軸的交點是(1，0)，(0，－1)，由下表可以用描點法作出函數的圖象． 上一篇范文： 課外園地·典型例題下一篇范文： 等比數列前n項和的公式及其推導 分享到： |
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