數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-函數思想在生活實踐問題中的應用實案 |
初中階段已經講述瞭函數的定義，進入高中後在學習集合的基礎上又學習瞭映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定瞭解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B上的映射?:A→B，使得集合B中的唯一元素y=a+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為?(x)= a+bx+c(a≠0)這裡a+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在集合B中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識， 事實上，函數的概念來自於生活實踐，來自於社會中各個量之間錯綜復雜的相互關系。 反過來我們又可以根據函數來探索、確定現實生活中各個變量之間的關系，從而解決實際問題。 第一部分 教學案例 資料1：65%個稅來源於工薪階層 個稅改革牽動工薪一族 來自國傢稅務總局的消息說，2004年中國個人所得稅收入為1737.05億元，其中65%來源於工薪階層。“貧富倒掛”的現狀激起瞭各方的反應，一時間“個稅改革”的問題成為街頭巷尾熱論的話題。 目前，除北京、上海執行1200元，深圳執行1600元起征的個人所得稅標準外，全國其他地區執行的仍舊是800元的“老標準”。這個始於1980年的個稅起征點，在經歷瞭25年的經濟發展和物價上漲後，顯然已經不能適應新的形勢瞭。 1980年月收入800元的算高收入階層，但25年後的今天，“月薪800元”已經成瞭低收入的代名詞。用20多年前的標準當作現在的起征點，顯然已經脫離實際。因此，這讓人們對此次個稅改革充滿瞭期待。 標準提高壓力減小 記者從北京市地稅局個稅管理處瞭解到，從2003年9月1日開始，北京市每人每月的補貼免稅扣稅額，由200元提高到400元，個稅工薪項目起征點，也由1000元提高到1200元。以北京某國企職工李先生為例，他的月收入為2000元，按照1200元個人所得稅起征額，他每月應繳納個人所得稅金額為55元，一年為660元。如果按照 800元的個人所得稅起征額，他每月應該繳納的個人所得稅金額為95元，一年為1140元，二者相差近一半。 這對於收入本來就不高的李先生來說，“顯然提高瞭起征標準之後，壓力就小瞭一半。” 個人所得稅知多少 個人所得稅是對個人(自然人)取得的各項所得征收的一種所得稅。其征收范圍包括：工資薪金所得；個體工商戶的生產、經營所得；對企事業單位的承包經營、承租經營所得；勞務報酬所得；稿酬所得；特許權使用費所得；利息、股息、紅利所得；財產租賃所得；財產轉讓所得；偶然所得；經國務院財政部門確定征稅的其他所得。 ——摘自新浪網 資料2：“依法納稅是每個公民應盡的義務”。在社會經濟飛速發展，人民生活水平不斷提高的同時，中國個人收入差距存在著不斷擴大的趨勢。為避免貧富差距的過度懸殊，緩解分配不公，促進社會公平，國傢於1980年開始實行個人所得稅制。國傢征收個人的工資、薪金所得稅是分段計算的：每月總收入不超過800元的，免征個人工資、薪金所得稅；超過800元部分（稱為全月應納稅所得額）須征個人所得稅。 附： 國內個人所得稅稅率表 級數 全月應納稅所得額 稅率 1 不超過500元部分 5% 2 超過500元至2000元部分 10% 3 超過2000元至5000元部分 15% 4 超過5000元至20000元部分 20% 5 超過20000元至40000元部分 25% 6 超過40000元至60000元部分 30% 7 超過60000元至80000元部分 35% 8 超過80000元至100000元部分 40% 9 超過100000元部分 45% (本表所稱全月應納稅所得額是指依照《個人所得稅法》第六條的規定,以每月收入額減除費用800元後的餘額或者減除附加減除費用3200元後的餘額) 通過閱讀材料，思考以下幾個問題： 1）是否全部月收入都要交稅？若不是的話，那麼月收入的哪部分應繳稅？ 2）所繳的稅率是否固定不變？稅率跟什麼相關？ 3）現有A、B、C等3人月收入分別為2000、4000、8000元，應繳納個人所得稅多少？ 4）某人月收入a元，應繳納個人所得稅多少？請用a表示。 第二部分 教學實案 一、教學課題：§3.12.1 函數的實際應用 課時：第1課時（共2課時） 二、教學目標 （一）知識目標 1．瞭解數學建模的目的和意義 2．掌握數學建模的一般步驟，會根據已知條件建立函數關系式 （二）能力目標 3．加強現實性，培養學生分析問題、解決問題的能力 4．加強鍛煉數學建模能力，培養學生應用數學的意識 （三）情感目標 5．通過讓學生感受數學的形成、發展與應用過程，培養學生對數學的興趣 6．通過案例分析，滲透德育教育，樹立依法納稅意識 三、教學重點、難點 重點是根據已知條件建立函數關系式；難點是數學建模意識 四、教學方法 讀議講練法 五、教具準備 多媒體投影儀、電腦設備 六、教學過程 （一）情景設計 【投影一】
宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁，數學無處不在，凡是出現"量"的地方就少不瞭數學。 ——（華羅庚） 師：前面，我們已經學習瞭函數的概念、函數的性質以及一元二次函數的圖像和性質，那麼它們到底有什麼用呢？許多人都以為我又不當數學傢，我又不去考大學，隻要學會加減乘除就行瞭，何必去學這麼難的函數呢？此話差矣。正如理論來自於實踐，又反作用於實踐，數學在當今社會各個領域均有著廣泛的應用，著名數學傢華羅庚說過“數學無處不在，凡是出現"量"的地方就少不瞭數學”。正因為數學具有廣泛的應用性，因此又被稱為基礎工具學科。接下來我們就通過幾個例子來體會數學是如何作用在實踐中的。 （二）講授新課 【投影二】
師：大傢首先閱讀資料1、2（課前先行下發），來瞭解一下我國的個人所得稅有關知識，並思考下列問題(每4人為一小組，可前後左右討論，)： 5）是否全部月收入都要交稅？若不是的話，那麼月收入的哪部分應繳稅？ 6）所繳的稅率是否固定不變？稅率跟什麼相關？ 7）現有A、B、C等3人月收入分別為2000、4000、8000元，應各繳納個人所得稅多少？ 8）某人月收入a元，應繳納個人所得稅多少？ （學生閱讀材料，小聲討論，教師巡視、啟發） 生1：根據資料1，隻有收入中超過800元的部分須交納個人所得稅，而不是全部收入。 師：這位同學看資料很仔細，理解也很準確，很好。從中可以發現隻有收入超過瞭800元才需要繳納個人所得稅。這部分稱為全月應納稅所得額。下面請另一位同學回答第2個問題。 生2：所繳的稅率是變化的。它隨著全月應納稅所得額的增加而增加。 師：能不能舉例說明，比如個人收入為1000、1500元，應繳的稅率各為多少？ 生2：個人收入1000元，則全月應納稅所得額為1000-800=200元，稅率為5%，應繳個人所得稅200×5%=10元；個人收入1500元，則全月應納稅所得額為1500-800=700元，稅率為10%，應繳個人所得稅700×10%=70元。 師：這位同學分析過程很詳細，邏輯很清晰，很好。下面同學有不同意見嗎？請盡興發表，答錯也不要緊。 （沉默……。有個別學生小聲議論。在教師鼓勵下，又一位學生舉手發言） 生3：我認為，個人收入1500元時，應繳個人所得稅不是70元，而是45元。 （下面學生議論紛紛。教師不加評論，而是把學生的思路引向深入） 師：你是怎麼得出這個結果的？ 生3：個人收入1500元，則全月應納稅所得額為1500-800=700元，其中500元對應稅率為5%，200元對應稅率為10%，應繳個人所得稅500×5%+200×10%=45元。 師（饒有興趣地）：你是怎樣想到把700元分為500元+200元的？ 生3：我也說不清，隻是感到應該這樣：不超過500元部分，稅率5%；超過500元到2000元部分，稅率10%，而700元中超過500元部分的隻有200元，因此對應稅率10% 。 師：很好。大傢有不同意見嗎？ 生2：我認為超過500元至2000元部分，應該指700元，而不必分為500元+200元。 師：大傢認為怎樣？ （下面學生議論紛紛，有說生2對的，有說生3對的。此時學生以達“心有所感，欲說不能”的不憤不悱階段） 師：好，剛才大傢的意見都集中在是否要對全月應納稅所得額按稅率進行分段計算。在解決這個問題之前先請大傢回答一個問題：如果甲的收入大於乙的收入，那麼在交稅後甲的收入是否可能小於乙的收入？ 生：不可能。 師：對，不可能！個人所得稅的目的是抑制貧富差距的過分拉大，而不是貧富一個樣；否則就不利於激發大傢的積極性，掙錢越多，越不合算嘛。那麼接下來請座位左邊的同學按照生2的思路、右邊的同學按照生3的思路分別算一下：若甲月收入為1301元，乙為1300元，他們分別應繳個人所得稅多少？然後互相比較，交稅後實際所得誰多誰少？ （教師巡視，請兩位同學上來板演） 生4（按照生2不分段思路）： 甲月收入1301元，全月應納稅所得額為1301-800=501元，對應稅率10%， 故應繳稅501×10%=50.1元，得甲稅後實際收入1301-50.1=1249.9元； 乙月收入1300元，全月應納稅所得額為1300-800=500元，對應稅率5%， 故應繳稅500×5%=25元，從而得乙稅後實際收入1300-25=1275元； 所以，繳稅後乙的收入大於甲的收入。 生5（按照生3分段思路）： 甲月收入1301元，全月應納稅所得額為1301-800=501元，其中500元對應稅率5%，1元對應稅率10%，故應繳稅500×5%+1×10%=25.1元，從而得甲稅後實際收入1301-25.1=12759元； 乙月收入1300元，全月應納稅所得額為1300-800=500元，對應稅率5%，故應繳稅500×5%=25元，從而得乙稅後實際收入1300-25=1275元； 所以，繳稅後甲的收入仍大於乙的收入。 師：由上述同學的解答可以看出：按照不分段的思路求解，就有可能造成稅前收入高的一方在稅後反而變成瞭收入低的一方現象；而按照分段的思路求解，稅前收入高的一方在稅後仍然是收入高的一方，隻不過兩者間的差距縮小瞭：由稅前相差1元，變成瞭稅後相差1275.9-1275=0.9元。這正是個人所得稅的作用，調配社會分配不均，縮小個人收入差距。那麼好，我們應選擇哪一種思路計算個人所得稅？ 生（異口同聲）：按稅率對應納稅所得額進行分段計算。 師：好，這正是稅率表裡各級納稅所得額中“部分”的正確反映！也就是說，在應納稅所得額中應分為不超過500、500-2000、2000-5000、…、100000以上等九部分，這正是解決本道題的關鍵！下面請大傢解決問題3。 （學生互相討論，計算，教師巡視、個別指導） 【投影三】
A： 月收入2000元，應納稅所得額為2000-800=1200元，其中500元稅率5%，剩下1200-500=700元稅率10%，故應繳稅500×5%+700×10%=95元； B：月收入4000元，應納稅所得額為4000-800=3200元，其中500元稅率5%，1500元稅率10%，剩餘3200-2000=1200元稅率15%，故應繳稅500×5%+（2000-500）×10%+（3200-2000）×15%=500×5%+1500×10%+1200×15%=25+150+180=355元； C：月收入8000元，應納稅所得額為8000-800=7200元，其中500元稅率5%，1500元稅率10%，3000元稅率15%，剩餘7200-5000=2200元稅率20%，故應繳稅500×5%+1500×10%+3000×15%+（7200-5000）×20%=25+150+450+440=1065元。 師：由上面可以看到，首先應確定納稅所得額，並分析等級。然後再依次計算以上各級稅額，但在分段計算時應去掉已經計算過的部分。但是上面的計算過程稍嫌麻煩，有沒有更一般的方法或公式呢？ 【投影四】
問題4： 假設某人月收入為a元，應繳稅為y元，則全月納稅所得額為（a-800）元，記x =（a-800）按x所在級別分別進行按段計算： 即 根據這個關系式，我們根據收入可以馬上得出任何一人的應繳稅額，而不必再詳細分類，這正是數學的好處。 像上述過程把實際問題轉化為數學問題的過程我們稱為數學建模。數學建模是解實際問題及數學應用題常用的方法。其基本思維流程如下：
【投影五】 師：下面我們來研究其他幾個例題。 【投影六】（多媒體逐步演示）
例1：用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（包括直徑DC）,如圖。若上部半圓半徑長為x，求此框架的面積與的函數式，並寫出它的定義域。 解：如圖設半圓的半徑為() , 則CD弧長=，線段CD=, 於是AD=BC 因此
又 解之得 即函數式是： 定義域是：
師：面積由哪幾部分組成？ 生：上面的半圓和下面的矩形。 師：那麼它們的面積分別是多少？
生6：因為半徑為x，所以半圓面積為。……矩形面積求不出。 師：為什麼求不出呢？矩形面積不是等於長×寬=AB×AD嗎？ 生6：AB=CD=2x，但是AD沒有告訴我們呀！ 師：考慮很仔細，很好！那麼AD是否由鐵絲彎成的？ 生6：是。 師：那麼，鐵絲總共彎成瞭哪些邊框？它們的總長你知道嗎？ 生6：圓弧CD和線段DA、AB、BC、CD，它們的總長是…m! (有學生提示) 師：好極瞭！也就是說：（板書），那麼AD能求瞭嗎？ 生6：我知道瞭！ 師：好！請你繼續回答。 生6：因為AD=BC,AB=CD=2x,而圓弧CD=πx,所以πx +2AD+4x=m,即AD 師：下面請大傢繼續解決y與x的關系。 (教師巡視，學生練習。投影六顯示解答過程) 師：通過此題大傢應明確應用的能力要求及求解應用題的基本步驟。（以下板書） 1、 數學應用題的能力要求： （1）閱讀理解能力； （2）抽象概括能力 （3）數學語言的運用能力； （4）分析、解決數學問題的能力 2、解答應用題的基本步驟： （1）合理、恰當假設； （2）抽象概括數量關系（已知，未知），並能用數學語言表示； （3）分析、解決數學問題； （4）數學問題的解向實際問題的還原。 師：接下來請看例2。 【投影七】（多媒體逐步演示）
解：設矩形豬圈長（與墻相對一面）和寬分別為x米、y米,由題意知 所砌三面墻為一長二寬共10米，即 x+2y=10 所以 y= 由 設豬圈面積為S, 則 S=
∵ ∴當時，S達到最大值12.5. 此時y= 即當矩形豬圈長為5 m，寬為2.5 m時，面積達到最大值為12.5。 評述：例2是實際應用問題，解題過程是從問題出發，引進數學符號，建立函數關系式，再研究函數關系式的定義域，並結合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數學模型的一種最簡單的情形。 （三）課時小結 師：通過本節學習，大傢應對數學建模有所瞭解。其解題過程主要是從問題出發，引進數學符號，建立函數關系式，再結合問題的實際意義研究函數關系式的定義域，分析函數式做出回答。其關鍵是正確建立函數關系式。下節課主要針對數學建模做練習，加強鍛煉數學的實際應用能力。 （板書）：實際問題 引入符號 建立函數關系式* 定義域 解答問題 （四）課後作業 【投影八】
課後作業： 一、書面作業： 1、你作為一傢公司會計，試計算一個月收入為15000元的員工，應每月繳納個人所得稅多少？（分別用兩種方法進行計算） 2、課本P127練習 A-2：小張傢想利用一面墻,再用竹籬笆圍成一個矩形養雞場。他傢已備足可以圍20米長的材料，試問：矩形養雞場的場和寬各是多少時，雞場的面積最大？最大面積是多少平方米？ 二、1、預習： 課本P125-127 2、預習提綱 （1）例1、2的數學模型和哪種函數有關？ （2）試列舉與你所學專業相關的有關求最大值或最小值的實際問題。 八、教學後記 新課標要求我們從人的發展上對課堂教學活動做較大的改革，即“改革教學過程中過分註重接受、記憶、模仿學習的傾向，倡導學生主動參與，交流、合作、探究等多種學習活動，改進學習方式，使學生成為學習的主人”。本文通過案例的引進，創設現實情景使學生樂於參與討論，在教學過程中對學生的觀點註重通過交流、討論決定取舍，而不是以教師的身份加以評判，從而培養學生的數學科學思維能力，增強學生的數學應用意識；同時滲透德育教育，通過論述所得稅的意義，增強學生依法納稅的意識。在案例分析時把重點放在瞭對“部分”的不同理解上（即問題2），結合案例的實際意義，辨明瞭是非。筆者以為正確理解問題正是數學建模成敗的關鍵。 |
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