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由正四面體的性質，運用聯想類比的思想方法來探求直角四面體的性質。所謂直角四面體就是有一個三面角的各個面角都是直角的四面體。如圖，四面體OABC在點O處的三個面角都是直角。所以四面體OABC是直角四面體。 直角四面體的性質： ① 直角四面體的對棱互相垂直. 證明：如圖 OB ⊥ OC，OB ⊥ OA。 OB ⊥ 平面OAC， 又 ，同理可得: 直角四面體的對棱互相垂直. ② 二面角A-OB-C、二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角. 證明：由（1）得OB ⊥ 平面OAC， ∠AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角A-OB-C是直二面角。 同理可得:OC ⊥ 平面OAB，二面角A-OC-B是直二面角， OD ⊥ 平面OBC，二面角B-OA-C是直二面角。 ③ 直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心. 證明：連結，並延長交於，連結 由三垂線定理的逆定理得 同理， ④ S2△BOC=S△BHC·S△ABC 證明：
⑤ . 證明： 即
同理，在
⑥ 不含直角的底面ABC是銳角三角形. 證明：設OA = a，OB = b，OC = c，則 ， ， ， 在中，由餘弦定理得 ， 所以∠BAC是銳角.同理可得∠ABC、∠ACB是銳角，所以△ABC是銳角三角形. ⑦ S2△BOC+S2△△AOB+S2△AOC=S2△ABC（底面面積S△ABC=） 證明：由（6）得：
⑧ 體積 V=. 證明： ⑨ 外接球半徑 R= . 如圖所示，以點O為長方體的一個頂點，OA、OB、OC為長方體的三棱作長方體OBEC-AFGH，則四面體OABC的外接球也是長方體OBEC-AFGH的外接球.設四面體OABC的外接球半徑是R，則. ⑩ 內切球半徑r= 設△OAB的面積是S1，△OAC的面積是S2，△OBC的面積是S3，△ABC的面積是S4，則 ， ， ， 由⑦得: . 由等體積原理得:
所以,內切球半徑 r= 本文探究瞭直角四面體的一些有趣、優美的特性。在以後的學習中我們要學會挖掘一些特殊幾何體的性質，以拓寬我們的數學思維。 |
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