數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-立體幾何（A版）中平行信息的處理方法 |
立體幾何對於不少高中學生來說是有一定困難的，究其原因是多方面的，對於圖形中的平行（指的是線線平行、線面平行、面面平行）信息和垂直（指的是線線垂直、線面垂直、面面垂直）信息的處理不當常是關鍵的原因。在高考中幾乎所有的立體幾何問題都要涉及這兩種信息的處理，如果把立體幾何看成是一部音樂作品，那麼不誇張一點說:平行與垂直的處理就可以音樂的主旋律。因此加強這兩類信息的研究是很有必要的,限於篇幅，本文先來對平行信息展開研究。 一 我們來看平行信息的一些重要特點 1．過已知直線外的一點作已知直線的平行線有且隻有一條；過已知平面外的一點作已知平面的平行平面有且隻有一個；過已知平面外的一點作已知平面的平行線有無數條，且它們都在同一個平面內；過已知直線外的一點作已知直線的平行平面有無數個，且都經過過已知點且和已知直線平行的直線。由此可見,在已知線（面）外一點作已知線（面）的平行線（面）時，要求是線線平行、面面平行的不同於要求是線面平行的，前者具有唯一性，而後者具有隨意性。 2．線線平行、面面平行的傳遞性 ，傳遞性指的是兩層含義 （1） 平行的自傳遞性：a∥b,b∥cc∥a及∥，∥ ∥ （2） 傳遞垂直信息及角的信息： ①a∥b， ②∥， ③a∥b， ④∥， ⑤a∥ba和c所成的角=b和c所成的角 ⑥a∥ba和平面所成的角=b和平面所成的角 ⑦∥，和斜交和所成的銳二面角=和所成的銳二面角 ⑧∥b和所成的角=b和所成的角 3. 線線平行在任何直觀圖中仍保持瞭平行特點，且是初中幾何和高中幾何的銜接點 我們知道一般用斜二測畫法來畫空間圖形的平面圖形，這和空間圖形的真實形狀是大不同的，但線線平行特征不比其它幾何特征，它在直觀圖仍能保持，這非常難得，對我們研究立體幾何有很大好處。 4．線線平行、線面平行、面面平行中的任何兩種在一定條件下都可以相互轉化 二 轉化出平行信息的常用方法 方法1：要重視由平面圖形中的信息轉化出線線平行。如利用三角形的中位線轉化出線線平行等。 方法2：用好線線平行、線面平行、面面平行之間的轉化。將線面平行、面面平行轉化成線線平行時要重視作好兩平面的交線。 方法3：用垂直於同一個平面的兩條直線平行來轉化出平行線。 例1（2004年湖南高考·理工第19題）如圖1，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1，在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論. 分析：此題作為題目的第三問,為瞭有效考查學生的思維，出題者將第三問設計成瞭探索的問題，此題若采用向量的方法或坐標的方法雖然也能做的出來，但是較費時，若能合理地分析平行信息，則可以有更好的方法。 方法1：可以先來思考能否過B作平面∥平面EAC，再研究作出的平面與棱PC的關系，當然要先考慮能不能過B作一條直線和平面EAC內的一條直線平行，在圖2中設O為AC、BD的交點，不難發現平面EAC內的EO的這條線和BD相交，過B作EO的平行線比較合理。考慮到O為BD的中點，點E在PD上，且PE:ED=2:1，故隻須取PD的另一個三等分點Q，即可得BQ∥EO，此時再取F為PC的中點，則有QF與平面EAC內的EC平行，從而平面EAC∥平面BQF，當然有F為棱PC的中點時，BF∥平面EAC。 方法2：若能註意到所研究的問題與平面BPC與平面EAC的交線有關，則也可順利得到思路。由於C為平面BPC與平面EAC的一個公共點，故還須再找一個公共點，在圖3中，註意到平面BPC內的直線BP與平面EAC的直線EO一定相交，設交點為G，則平面BPC平面EAC=CG，取R為BD的靠近D的三等分點，從而ER=BG，又，故BG=BP，在△PGC中取F為棱PC的中點時有BF//GC，從而BF∥平面EAC。 例2 如圖4，直角∠ABC的一條邊與平面斜交 ，另一條邊BC不在平面內，∠ABC在上的射影仍是直角，求證：BC// 分析：此題關鍵在於如何用好垂直信息來產生平行。設B點在上的射影為D，設C點在上的射影為E，則AB的射影為AD，BC的射影為DE，依題意，∠ADE=，故先用三垂線定理可得，結合， 可得BC⊥平面ABD，從而BC⊥BD，由於BD⊥DE，且B、D、E、C四點共面，故BD∥CE，從而BC//。 三 平行信息的一些重要應用 除瞭要重視將線線平行、線面平行、面面平行之間相互轉化以及用好線線平行、面面平行的傳遞性外，還要重視以下兩個方面的應用： 第一 用平行信息將求的角或距離的位置優化。 關於角前面已談到，對於距離，以點到平面的距離為例，經常有這種情況，題中容易求出A點到平面的距離，但要求的是B點到平面的距離，此時一般要連結AB，若AB∥，則A點到平面的距離=B點到平面的距離；若直線AB和平面相交，設交點為O，若OA：OB能求出，此時可過B作（為A在平面內的射影）的平行線（為平行線與平面的交點），則，且A點到平面的距離：B點到平面的距離=OA：OB。 例3 如圖5，已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長和各側棱長均為13，M、N分別為PA、BC上的點，且PA：MA=BN：ND=5：8（1）求證：MN∥平面PBC（2）求直線MN和平面ABCD所成的角。 分析：考慮題中出現的比例線段（但比例線段不共面），應通過構造共面的比例線段自然而然作出在面PBC內與MN平行的直線，在圖6中取R、S分別為PB、BC上的點，且PR：RB=BS：CS=5：8，故MR∥AB，MR=AB；NS∥CD且NS=CD。再結合AB∥CD，從而MR∥NS且 MR=NS，故MN∥RS，不難證MN∥平面PBC。對於第二問，值得考慮是原位置上求MN和平面ABCD所成的角，還是改到RS（由於RS∥MN）位置上求與面ABCD所成的角呢？顯然RS在表面上，且RS的長度比較好求，.故將研究的角的位置放在RS比較好。設O為底面ABCD的中心，過R作RH∥PO交底面ABCD於H ，則RH⊥面ABCD，RH=PO=，此時不難有所求的直線MN和平面ABCD所成的角為。 例4 （2005高考江蘇卷）如圖7，在五棱錐S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°. （Ⅰ）求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數值表示）；（Ⅱ）證明BC⊥平面SAB；（Ⅲ）用反三角函數值表示二面角B-SC-D的大小（本小問不必寫出解答過程） 對第三問的分析：此題在第一問的解題過程中可證得底面ABCDE滿足BE∥CD，從而在等腰梯形BCDE中不難有CD=，對於第三問，雖然不要解題過程，但如果方法不當將會計算量很大，甚至不能夠完成。合理的解題思路可如下建立：如圖8，由於巳證得BC⊥平面SAB，故面SAB⊥面SBC，且交線為SB，在面ABC內作AF⊥SB交CB於F ，則AF⊥面SBC，不難有AF=，此時可考慮過D作AF的平行線。連結AD，設直線AD交直線BC於P 點，則AD交平面SBC於P ，下面先來求DP：AP，在Rt△ABP中，過D 作DQ⊥BP，垂足為Q，則AB∥DQ且DQ=CD，故DP：AP=DQ：AB=3：4，連結PF，過D 作DH∥AF交PF於H，則DH⊥平面SBC，且不難有DH=，H在面SBC的反向延長面內（畫Rt△BFP的真實圖形可知）。在等腰三角形SCD中，SC=SD=，由面積法不難得腰SC上的高DK為，故二面角B-SC-D的平面角的正弦值為，從而二面角的大小為。 點評：此方法在求出A點到面SBC的距離基礎上合理求出D點到面SBC的距離，從而有瞭較佳的計算量。 第二 在一定條件下將對面（線）面垂直的尋求轉化為對平行線的尋求。 例5(2005湖北卷20) 如圖9，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點. 在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，並求出N點到AB和AP的距離. 分析：如圖10，根據題意要找出面PAC的垂線NE，應註意到面PAC內直線PA⊥面ABCD，故面PAC⊥面ABCD，且交線AC，因此在面ABCD內過D作DF⊥AC交AC於F, 交AB於Q，則可得DQ⊥面PAC，故要作的垂線問題即可轉化為在側面PAB內找一點N, 使EN∥DQ, 由於E為PD的中點,取N 為PQ的中點即可使EN∥DQ。在Rt△ADC中，利用射影定理可得FC=3AF，故AQ=DC=AB，從而有N點到AP的距離，N點到AB的距離為=1. 通過以上對平行信息可知,用好平行信息對解立體問題是非常重要的，對平行信息進行合理地分析也是很有必要的。 |
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