領略“遞推”的思想方法

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領略“遞推”的思想方法 教學目標 1．理解並掌握等比數列的定義、通項公式及其初步應用；領略“遞推”的思想方法． 2．通過公式的探求，引導學生學習觀察、類比、猜測等合情推理方法，提高學生分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力． 3．通過教證明、教猜想，學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養學生實事求是的科學態度和積極參與的主動精神． 教學重點和難點 等比數列定義、通項公式及其一般形式的探求． 教學過程設計 師：請同學們回憶等差數列是怎麼定義的？通項公式是什麼？怎樣證明？ 生1：定義是：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫公差，用d表示． （生1語言表述，老師代為寫出）an-an-1=d，n=2，3，…． 生2：通項公式是an=a1+（n-1）d，n=2，3，…． 師：作為“通項”公式，應對所有項適合，是這樣嗎？ 生3：當n=1時，左邊=a1，右邊=a1+（1-1）d=a1+0=a1，適合．所以通項公式為an=a1+（n-1）d，n=1，2，3，…． 師：哪位同學能證明？ 生4：（板書）在an-an-1=d中，命下標取2，3，…，n-1，n，得 a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …… an-1-an-2=d +）an-an-1=d an-a1=（n-1）d 所以an=a1+（n-1）d． 生5：也可采用“連續代入”的方法：（生5口述，師板書）由an-an-1=d，得an=an-1+d=an-2+2d（註意下標與d的系數的關系）=an-3+3d=…=a1+（n-1）d． 師：非常好！這就是嚴格的證明瞭．請註意，把定義改寫為an=an-1+a就是“遞推關系”瞭，它有“順次遞推”的功能，生5的證法就是巧用瞭這個功能． （這裡，“復習”不是單純地對“知識”的回顧，而是通過對知識產生過程的反思，起到承上啟下的作用，為本課反復運用的類比打下瞭基礎，這裡，通過對教材的略加變通（一是檢驗瞭n=1的情形；二是嚴格推導），把教材中原本僅是猜想（但學生常誤認為是證明）的東西，給出瞭嚴格的證明，而且獲得瞭“錯位相消”和“連續代入”兩種重要技巧） 師：請同學們觀察如下兩個數列（投影儀打出）： （Ⅰ）5，25，125，625，… 有什麼特點？它們是等差數列嗎？ 師：共同特點是什麼？可仿“等差數列”來描述． 生6：從第二項起，每一項與它前一項的商都等於同一個常數．（師板書） 師：好，上述兩個數列都具有很好的特點，它和等差數列一樣，是一類重要的數列，誰能為這樣的數列起個名字嗎？ 生7：叫“等商數列”． 師：可以，但“每一項與它前一項的商”應說成“每一項除以它的前一項的商”．還可怎樣說？ 生8：可以說成“每一項與它前一項的比”．噢，那就叫“等比數列”． 師：好！兩種說法都正確，請完整地敘述一下 生：如果一個數列（ ）從第2項起（ ），每一項（ ）與它前一項（ ）的比等於同一個常數（ ），那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數（ ）叫做公比． （在學生敘述時，老師板書，並有意識地留下瞭空隙．學生說完之後，同大傢商量著在空隙中依次填上{an}，n=2，3，…，an-1，an， 師：等比數列的定義還可以用怎樣的數學式子來刻劃？ 師：以上我們學習瞭等比數列的定義．等比數列的定義可作為判斷一個數列是否是等比數列的依據． 請考慮如下數列是否是等比數列（投影儀打出）： ②1，2，4，8，12，16，20，…； ④1，1，1，…，1； ⑤a，a，a，…，a． （生口答，師板書） 師：你能求出a1999=？ 師：好！誰來回答④和⑤？ 師：有不同意見嗎？ 生13：④是等比數列；對⑤，當a≠0時，⑤是等比數列；當a=0時，⑤不是等比數列． 師：很好！由此聯想到什麼？關於等比數列的項和公比有何限制？ 生14：an≠0，q是非零常數． 師：有沒有既是等差又是等比數列的數列？ 生15：有，就是非零常數列． （讓學生自行通過觀察、類比、綜合得到定義，自行命名，這是尊重學生的主體地位，強化學生主體意識；通過討論定義，把普通語言譯成符號語言，體現瞭數學的特點，手把手教將數學“符號化”的能力，這非常重要；通過實例嘗試，而不是通過“囑咐”讓學生認識等比數列是非零數列（an≠0，q≠0），這樣做效果好） （絕大部分學生在加緊演算，但似有難色） 生16：求a6，a7等是可以的，但a1999不可能很快求出． 師：前面③中的a1999這麼容易求出，而這裡的a1999卻不易求出，原因何在？ 生16：③中已給出通項公式，而這裡未給出通項公式． 師：看來，要很快地求出本題中的a1999，首先要探求等比數列的通項公式．那麼等比數列的通項公式是怎樣的呢？能否試著求出a2，a3，a4？從中能否得到某種啟示？ 生17：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，猜想an=a1qn-1． 師：生17提出瞭等比數列通項公式的一個猜想，讓我們用本課開始時給出的兩個等比數列加以驗證 生18：對（Ⅰ），按此猜想應有an=5·5n-1=5n，則a1=5，a2=25，a3=125，a4=625．正確！ 師：通過上述二例的驗證，進一步增強瞭猜想的可信度，但要肯定它正確，必須證明．哪位同學來證明？請上黑板． 邊=a1·q1-1=a1，公式也適用．故通項公式是an=a1qn-1（n=1，2，3，…）． 師：生19利用迭乘的方法證明瞭猜想的正確性，這種迭乘消去的方法在這裡體現瞭極大的優越性，應當引起我們的重視．當然迭乘法不是證明通項公式的唯一方法，等我們學完瞭數學歸納法以後，我們還可以利用數學歸納法對其給出證明．我們把這個結果稱為等比數列的通項公式，即an=a1qn-1（a1≠0，q≠0，n∈N+）． 有瞭等比數列的通項公式以後，剛才問題中的a1999已不難求出瞭，誰來求一下？ 師：生20求解的結果是對的，為瞭使我們更好地理解和運用公式，請同學們一起來分析公式有什麼特點？ 生21：左端是通項，右端是a1乘以q的一個冪．這時a1的下標與q的指數和等於n． 生22：公式中含有an，a1，q和n四個量，知其中三個可求出第四個． 師：這同等差數列的通項公式是類似的（均是知三求一），請再對比一下（我們換個字母）． an=a1+（n-1）d，bn=b1·qn-1． 還有進一步的關系嗎？ 生23：在等差數列通項公式中，a1的下標與d的系數之和等於n．噢，對瞭，由此我們導出瞭an=am+（n-m）d． 這裡我類似地猜想，是否有bn=bm·qn-m．（bn≠0，q≠0，n，∈N+，n＞m）（*）·（師板書） 師：有道理，又是一個大膽的猜想！但這僅僅是猜想，誰能給出證明？ 生23：（生23口述，師板書）由通項公式得；bn=b1·qn-1， 師：很好！證明完成得幹脆利落．請思考這個公式能包含前面所得的通項公式嗎？ 生24：能．當m=1時，即得bn=b1·qn-1． 師：由此可見（*）式更具有一般性，但是，（*）式中必須要有“n＞m”這個條件嗎？ 生25：不必．（生25口述，師板書）當m-n時，左=bn，右=bn·qn-n=bn．故公式成立；又當n＜m時，由（*）式知：bm=bn·qm-n．因 師：如此看來，這個公式該怎樣寫？ 生25：應寫成bn=bm·qn-m（bm≠0，q≠0，n，m∈N+）． 師：非常好！有關公式的應用，我們將在下節課探索．另外，假定bn＞0，請課後進一步思考：能否構造一個與等比數列{bn}有關的等差數列{an}？ （“觀察-歸納-猜想-演繹證明”是一條很好的教學思路，但不見得每種情況都用，這裡，由於同等差數列強烈的類比，學生已猜想出推導等比數列通項公式的大體思路，因而采用“類比”的方法，一舉推導出來瞭，加速瞭思維過程，教師也“順水推舟”，這自然是很好的） 師：下面我們對今天這節課作一簡單的小結（學生小結，師生共同完善）． 1．通過分析、綜合、抽象、概括，我們給等比數列下瞭定義，又共同探索獲得瞭等比數列的通項公式及其一般形式． 2．又一次體會到瞭觀察、類比、猜測、證明等合情推理與邏輯推理方法在探索、發現知識方面的作用，提高瞭我們分析、綜合、抽象、概括的思維能力． 課堂教學設計說明 1．關於教學目標的制定 未來社會對人才素質的要求是多方面的，因此，在全面推進素質教育的今天，課堂教學的目標應該是多元化的． （1）數列的概念、通項公式是本章的重點之一，因此，作為等比數列的起始課，理所當然地應將等比數列的定義，通項公式以及等比數列的判定作為教學目標之一． （2）合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養，這是教學大綱要求高中數學教學達到的一個顯著目標，這裡教學目標2和3的制定，正是據於這樣的大綱精神． 2．關於教學重點和難點的確定 從全面提高學生的素質考慮，本節課把等比數列定義及通項公式的探索、發現、創新等思維過程的暴露，知識形成過程的揭示作為教學重點，同時，由於“思維過程的暴露，知識形成過程的揭示”不像將知識點和盤托出那麼容易，而是要求教師精心設計問題層次，由淺入深，循序漸進，不斷地激發學生思維的積極性和創造性，使學生自行發現知識．“創造”知識．這是對教師，也是對學生高層次的要求，因而是教學的難點之一． 3．關於教學方法的選擇 教師是教學的主導，學生是學習的主體，如何根據教材內容，創設良好的教學情況，引導學生積極主動地參與課堂教學的全過程，使學生在開放、民主、愉悅、和諧的教學氛圍中獲取新知，是教師設計教法時所必須認真考慮的．在講本節課內容之前，學生對數列，特別是等差數列的定義、通項公式等知識內容及其探求的思路，已有瞭較深刻的理解．而等比數列的有關知識內容的探求思路與等差數列是類似的，因此采用啟發式、談話式的教學方法，引導學生進行類比推理可以使學生不知不覺地參與教學的全過程，為使學生自己探索發現等比數列的有關知識營造瞭良好的氛圍． 4．關於教學過程的設計 本節課按如下四個方面展開： （1）復習等差數列的定義，通項公式及探索思路； （2）等比數列的定義及其幾個特例的判定； （3）等比數列通項公式的探求； （4）通項公式的一般形式． 有意識地引導學生復習等差數列的定義及其通項公式的探求思路，一方面使學生溫故舊知識，另一方面使學生通過聯想，為類比地探索等比數列的定義、通項公式奠定基礎． 通過引導學生對幾個具體數列特點的探索，然後一般地歸納這類數列的特點，進而給出等比數列的定義，並將其數學符號化，再對幾個具體數列進行鑒別，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的認識規律，使學生體會觀察、類比、歸納等合情推理方法的運用．培養學生觀察分析能力，抽象概括能力． 繼引導學生為等比數列下定義之後，探索等比數列的通項公式又是一個重點．這裡，我們通過引導學生試著求出a2，a3，a4，進而歸納猜想出an=a1qn-1，然後進行檢驗證明，即通過既教證明，又教猜想，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現數學發現的本質，培養學生合情推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態度及勇於探索的精神等個性品質． 試驗——猜想——驗證——證明，這是探求真理的有效途徑之一．試求幾個簡單的結果是必要的，它是猜想的依據，正如波利亞指出的那樣：“首先嘗試最簡單的情形是有道理的．即使我們被迫最後返回到一種比較周密的較為復雜性研究，那以前最簡單情形的研究也可以當作一種有用的準備．”從某種意義上說，猜想的發現的先導，驗證猜想的正確性可使猜想變得更可靠，而經過證明正確瞭的命題終於使猜想變為瞭真理．這一過程中，各類學生都有問題可想，有話可說，有事可做，學生的思維積極性被極大地調動瞭起來． 通項公式的一般形式an=am·qn-m（am≠0，a≠0，n，m∈N+）的探求，一方面是前面得出的通項公式的簡單應用；另一方面是對求出的通項公式的推廣，特別是限制條件“n＞m”的去掉，具有一定的創造性，是值得鼓勵和稱贊的． 學生自覺、主動地要求獲取知識與教師向學生灌輸知識的效果是截然不同的．如何激發學生的求知欲是教學設計中必須註意的一個問題．在引導學生探索等比數列通項公式時，我們通過對一個例子中a1999求解困境的設置，以激發學生探求等比數列通項公式的欲望．這顯然要比直接告訴學生“通項公式多麼重要”更有說服力． 值得一提的是，本節課的教學中，我們不但教學生進行知識（等差數列與等比數列）的類比，而且還教學生方法（探求問題的思路）的類比．這裡的“教”，實際上是啟發引導學生“想”與“說”，這是符合“重視知識的產生、發展與深化過程”的現代教學原則的． 上一篇范文： 等比數列前n項和的公式及其推導下一篇范文： 波利亞--怎樣解題 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社