例析習題課的能力培養

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高三教學綜合性更強，能力要求更高，要把握好點線面體綜合復習的每一個環節，引導學生構建起以能力為核心的多面體式知識體系。切不可就是以前所學知識的簡單復習與堆砌，特別是基於學生認知能力，同一問題分散於小學、初中、高中分階段學習的知識，應引導學生站在一個較高的層次進行綜合復習。既要註意各數學分支的縱向深入，更應註意它們的橫向聯系；既要通過一題多解培養能力，更要註意多題一解以減負。題組教學的遞進式復習，可以說是高三復習的一個有效途徑，既可拯救學生出苦海，又可提高學生的興趣，使學生對所學知識達到融會貫通的境界。下面來看一類問題的題組教學。 例1：在直線l : x + y-1 = 0 上找一點P ，使P點到A（2，6）、B（5，1）兩點距離的和最小。 第一步：通過問題的實際背景導析，激發興趣，並明確許多問題同屬於一個數學模型。 1、 在河邊修一抽水機站，供A、B兩村莊的用水，機站建在何處費用最少？ 2、 在鐵路旁修一車站，使火車卸下的貨物運到A、B兩廠，汽車運費最少？ 第二步:引導學生分析求解 1、 如果A、B在l 的異側， 2、 連接AB與l 的交點即為所求。 3、 如果A、B在l 的同側，啟發學生作B關於l的對稱點B’， 連接AB’與l的交點P即為所求。 　　　　　　 註意：（1）根據“三角形兩邊之和大於第三邊”讓學生理解所以然（難點） 　　　（2）掌握對稱點B’的求法，再求AB’的方程及AB’和直線l的交點P。（關鍵） 第三步：解題後的思考 1、 作A關於l的對稱點A’（-5，-1），直線A’B與l的交點也是P，直線A’B和AB’關於l對稱。 2、 能否求|PA|+|PB|的最大值呢？|PA|-|PB|的最大值呢？使學生明確A、B在l的同側，異側的兩種情形的求解。 第四步：小結和拓展 1、|PA||+|PB|的最小值，｜|PA|-|PB|｜的最大值，求解的本質都一樣。 2、兩村莊位於河的兩岸，在河上修一橋，使行程最小，啟發學生編擬數學題。 例2：設Ａ（－5，－1）、Ｂ（5，1），L1:x + y + 1 = 0, L2: x+y-1=0。在L1、L2上分別找點P、Q使PQ⊥L1，且使折線段APQB最短。 第一步:引導學生進行實際分析，探求解題途徑。 1、 有部分學生會想當然地連接A、B。你們見過這樣的斜橋沒有？橋的跨度加長。 （1）增加瞭建橋的難度。 （2）增加瞭建橋的費用。 （3）減短瞭橋的使用壽命。所以PQ⊥L1，|PQ|=。問題即是求|AP|+|BQ|的最小值。 2、 引導學生將點Q、B和直線L整體平移，使L2與L1重合，則B點平移到B’的位置，連AB’交L1的交點即為P點。 第二步:引導學生求解： 作BC⊥L2，在BC上取點B’ ,使|BB’|=|PQ|=。直線BB’的方程為：x –y – 4 = 0 。B’（4，0）。AB’的方程為x – 9y – 4 = 0 。P（-1/2 , -1/2），Q（1/2，1/2）。 第三步:解題後的再思考： 一光線自厚度為mm的玻璃外一點A射向破璃上的B點。（1）求折射光線年在的直線方程。（2）求反射光線所在的直線方程。 例3：光線自A（2，6）點射向直線x+y-1=0後的反射光線經過B（-4，7）。求入射光線和反射光線所在直線方程。 第一步：引導學生分析解題。 1、 A’(-5,-1)。反射光線A’B所在的直線方程為：8x – y + 39 = 0 。入射光線AP所在直線方程為：20x – 21y +164 = 0 。 P(-38/9, 47/9). 2、 兩直線都可以求出對稱點A’ 、B’再用兩點式求解，也可先求出一條，另一條用求對稱曲線的通法求解，借此復習一般曲線的對稱曲線的求解。 第二步：啟發學生思考新的問題。如果反射光線和某一圓相切呢？ 例4：自A（2，6）射出的光線經直線x+y-1=0 反射，反射光線和圓（x+3）2+(y-7)2=4相切。求反射光線所在的直線方程。 第一步：引導學生分析求解。 1、 A’（-5，-1），設反射光線所在直線方程為y+1=k（x+5）。求得 15x – 8y +83=0。 2、 註意啟發學生思考尋找斜率不存在的情形。過圓外一點引圓的左線應該有兩條，反射光線所在直線還有一條：x=-5。 第二步：啟發學生思考問題： 如果光線射向圓上的某一點，求反射光線所在直線方程，又怎樣求呢？ 例5、光線自A（2，6）點射向園上的P（-1，7）點，求反射光線所在直線方程。 第一步：引導學生分析求解； 1、分析：問題相當於經過園在P（-1，7）點的直線x=－1反射，亦即求直線AP關於園在P點的法線y=7的對稱曲線的方程。 2、引導學生求解：直線AP的方程為，關於y=7的對稱直線為，即 第二步：引導學生結合例4中的圖形分析： 1、 若入射點是圓上的其它點，怎樣求解？ 2、 如果入射點是圓過A點的切線的切點，反射光線是什麼？若入射點是圓心與A點連線的交點，反射光線又是什麼？ 總結： 1、本節課復習的主要內容有對稱問題、圓的切線問題、最短路徑問題。 2、曲線的對稱問題的本質是點的軸對稱和點的中心對稱，點的軸對稱註意抓住垂直、平分求解，並熟悉一些常見的對稱結論。 3、圓的切線用判別式求解，但更應利用圓心到直線的距離等於圓的半徑來求解，求解中註意斜率不存在的情況。 說明： 1、由一題展開去的遞進式題組復習，既能提高學生的學習興趣，更能將問題進行歸類復習，使學生觸類旁通以減負。 2、根據復習的需要進行題組編擬是問題的關鍵，根據復習進程及時設問提問，將問題引向更高一級的層次需要教師課堂教學的靈活性。 3、數學走向於應用，根據生活實際編題，結合其它科目編題，既可提高學生的學習興趣，更是新高考的新要求。 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社