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背景分析 從2001年秋季開始，成都市和全國各地的中小學一樣都使用瞭新教材。新教材和舊教材相比，不僅在教學內容上作瞭更新，而且在教學思想、教學理念上都發生瞭很大的變化。這不僅對學生的學作出瞭新的要求，更對教師的教提出瞭新的挑戰。面對新教材，更多的思考擺在瞭我們每一位老師面前：傳統的教師的主導要轉化為學生的主體，課堂要成為學生學習活動的主陣地，學校要成為學生素質全面發展的主戰場。這是一場陣痛，無論是對已有多年教齡的高級教師，還是初出茅廬的新教師，都必須認真學習新教材、體會新教材。 新都一中是一所國傢級示范高完中。近幾年來，學校把“優化教育技術、優化課程結構、優化育人環境”作為學校持續發展的教學思想，狠抓教學質量，教學成績年年攀升。對初高中開始使用的新教材學校領導高度重視。除配合市、區教育部門的新教材教師培訓外，學校還由主管教學的副校長、教務主任專管初一、高一的常規教學。每周組織2至3次公開課，研究公開課、評議公開課，認真落實新教材、實施新課改。使一大批老師迅速適應瞭新教材提出的新要求。針對新教材，學校要求每一位老師每一個學期制定至少一個研究性課題、寫出研究性報告和研究性論文。學校還成立瞭初一、高一年級學生研究性學習小組，讓學生主動去結合新教材發現新問題、研究新問題、解決新問題。 在課改背景下，開展學生自主性參與研究性學習有著積極的現實意識。 1．讓學生自主參與教學活動是素質教育思想的基本體現。素質教育思想有三個要義，即面向全體學生；面向學生的每一個方面；讓學生生動活潑、主動地發展。這就明確告訴我們，課堂教學中改革的根本任務就是要落實學生的主體性。課堂上學生能否自主參與教學活動是學生能否成為活動主體的明顯標志。也就是說，隻有學生在情感、思維、動作等方面自主參與瞭教學活動，學生的學習主體性才能充分體現出來；隻有學生的主體性充分地得到體現，課堂中的素質教育才能真正落到實處。 2．讓學生自主參與教學活動是學生生理心理發展的要求。心理學研究結果表明，人的心理可分為兩大系列，即智力因素系列與非智力因素系列。學生的學習和發展是這兩個方面因素相互制約、相互促進的辯證統一過程。美國著名心理學傢佈盧姆研究認為，“90％的學生的能力傾向差異隻不過是學習速度的差異，而不是智力差異”，而學習速度的差異大多是非智力因素的水平差別所致。因此，在教學中既要重視強化學生的非智力因素，激發動力系統，使學生在學習過程中進入積極、主動的心理狀態，又要強調學生的智力因素，在參與實踐的過程中自主地獲取知識。這樣，使學生在學習過程中的兩大系統水乳交融，協調發展，促進學生全面素質的提高。 3．讓學生自主參與教學活動是提高課堂教學效率的有效途徑。數學本身是抽象的，如果離開瞭學生的自主參與，離開瞭學生的拼拼、比比、摸摸、看看、量量、畫畫，以及操作實踐，要想很好地建立抽象認識是相當困難的。從學生的生理心理特點來看，中學生對事物的認識還是以直觀形象思維為主，多給學生提供些直觀教學活動，有助於調動學生的參與熱情；從學生參與課堂教學的心理來看，跟自己的學習生活密切相關的，生動有趣的，以及理解和掌握起來比較容易的知識越能激發學生的參與熱情，促成學生的積極有效的自主參與；沒有瞭學生的積極有效參與，也就談不上有什麼積極有效的教育效果。 4.學生自主參與學習活動是減負的重要條件。心理學研究表明，根據學習者的學習狀態，學習可分為“被動學習”與“主動學習”兩類。在被動學習的狀態下，學習者往往缺乏學習的興趣、意義、效率和效果，他們隻有學習的壓力而無學習的動力，隻有學習的苦惱而無學習的快樂，他們視學習為包袱，視學校為“監牢”，視考試為“刑場”。他們不僅有認知方面的重負，更有精神方面的枷鎖，不僅有體力透支，更有心力憔悴。而學生在主動學習狀態下所產生的學習效率則截然不同。面對同樣的“學習量”，主動學習者的學習時間短，學習效率高，精神面貌也好。故而，我們認為“減負”就其實質而言，涵蓋著兩個層面：一是減輕學生知識學習特別是書本知識學習的重負，如減少學生課堂學習的時間等；二是減緩學生學習的心理壓力和精神壓抑，解放學生學習的自主權和自由度，變消極、被動地學習為積極主動地學習，變苦學為樂學，讓學生真正成為學習的主人。 如何培養學生的自主性參與意識、提高學生研究性學習能力？筆者認為，在教學中可以采用如下教學策略： 一．確立研究性課題 從科學研究的意義上講，發現問題比解決問題更重要，科學傢們都認為，提出問題是學得真知的關鍵一步，一個人在學習的過程中，假如提不出問題，那麼就很難想像他真正地學到瞭什麼。因此，研究性學習的主要途徑即是研究小型的課題，課題是對問題的解決的策劃。那麼，高中數學研究性學習如何選題呢？ （一）、高中數學研究性課題的選擇原則 1.價值性原則。選題要有一定的創造價值和社會價值，能促進學生的發展和提高。 2.問題性原則。問題是科學思維的起點，讓學生運用所學知識通過數學建模去解決問題。 3.可行性原則。選擇的課題適合學生的能力和知識水平及相關物質條件。 (二)、高中數學研究性課題的來源 1.生活實踐。學生通過自己居住的生活環境及所接觸的現實生活，從中發現問題並提出與數學有關的研究性課題。 2.社會熱點、焦點問題。學生通過新聞媒體及所接觸的周圍人群瞭解當前的熱門話題，從中提出與數學有關的研究性課題。 3.課本中的問題。數學教材是研究課題的重要來源，教師要求學生註意這些研究性學習問題的討論，因它與課本內容聯系密切。 (三)、高中數學研究性學習的課題類型 1.知識探究型。即對基礎知識的研究，這是學生研究課題中的最低層次。 2.社會調查型。通過對社會的研究調查，提出研究性學習的課題。 3.創造發明型。在學生研究性學習課程中，最高的研究層次應是創新發明。通過自已的努力，以科技創造為目標，進行認真的科技發明嘗試，並能取得成果。 4.學術研究型。在研究性學習中，經過研究探索寫出學術論文，這個層次較高。 (四) 、高中數學的研究性課題選擇舉例 1.社會生活實踐方面 （1）洗衣服是我們生活中最平常不過的事情，但從中可得出一個研究性課題。“探討全自動程序下洗衣機在漂洗時用水設計中的數學原理：1）為什麼設計成等量註水? 2）分3次註水的合理性是什麼？” （2）調查報亭賣報情況(進價、售價及賣不出去而退回每份報紙賠錢多少)統計一個月的銷售情況，為報亭主人決策，使之收益最大。 （3）現在很多人傢都安裝瞭太陽能熱水器，請你用所學的數學等知識說明在各個不同季節，熱水器安放的傾斜角為何值時，可使正午時陽光直射熱水器，從而取得最大熱效率。根據你的研究，你可以向熱水器生產廠提何建議？ 2.熱門問題 （1）足球運動員在射門時，面對對方守門員，射門時的角度、球速與守門員撲球時的移動速度有何關系，能將球射入球門？足球運動員在何處射門最好(不考慮其它因素)？ （3）調查保險公司養老保險險種及分紅方法，某人在40歲時參加保險，或將應交保額逐年存入銀行，假設此人預期壽命為75歲，請你對這兩種投資方式進行比較，確定此人是投保收益大，還是存銀行收益大。 3.深入研究教材，從教材中取得課題：新編的高中數學教材(練習部分)已經為我們提供瞭大量的研究性學習的課題。 （1）如在學完數列後，有的學生提出有沒有“等和數列”和“等積數列”呢？這樣教師可提出研究性課題：“等和數列、等積數列的性質研究。” （2）在學完圓錐曲線這一章後，可提出研究性課題：“拋物線的焦點弦的性質研究”和“圓錐曲線的焦點弦的性質研究”。 4.其它問題。如最優化問題： （1）無蓋盒子的最大容積問題 ，用一張邊長為a的正方形鐵皮，如何制作一個無蓋長方體盒子,使其容積最大? （2）零件供應站(最省問題)：設在一條流水線上有5臺機器工作,我們要在流水線上設立一個檢驗站,經檢驗合格後才能進行下一道工序,若5臺機器的工作效率相同,問檢驗臺放在何處可使移動零件所走的距離之和最小?(所花的總費用最省) 如果是n臺呢?若5臺機器的效率不同又如何呢? （3）拍照取景角最大問題：在公路的一側從A至B有一排樓房，想在公路上的任何一處拍一張正面照，選擇公路上的任何點，使拍攝的一排樓房的取景最大。 總之，在實施數學研究性學習時，課題可以在課堂上也可以課外佈置給學生，另外，教師可作適當的點撥指導，但要重視學生的參與過程，目的是達到開發學生智力、提高學生學習數學的興趣 。 附：高中數學研究性學習課題選題參考 同時，在數學教學活動中教師可以給學生提供一些數學研究性學習課題，如： 1. 銀行存款利息和利稅的調查 2. 氣象學中的數學應用問題 3. 如何開發解題智慧 4. 多面體歐拉定理的發現 5. 購房貸款決策問題 6. 有關房子粉刷的預算 7. 日常生活中的悖論問題 8. 關於數學知識在物理上的應用探索 9. 投資人壽保險和投資銀行的分析比較 10. 黃金數的廣泛應用 11. 餘弦定理在日常生活中的應用 12. 證券投資中的數學 13. 環境規劃與數學 14. 以“養老金”問題談起 15. 中國體育彩票中的數學問題 16. 解答應用題的思維方法 17. 高中數學的學習活動──解題後的反思──開發解題智慧 18. 中國電腦福利彩票中的數學問題 19. 各鎮中學生生活情況 20. 城鎮/農村飲食構成及優化設計 21. 如何安置軍事偵察衛星 22. 如何存款最合算 23. 哪傢超市最便宜 24. 數學中的黃金分割 25. 通訊網絡收費調查統計 26. 水庫的來水量如何計算 27. 計算器對運算能力影響 28. 如何提高數學課堂學習效率 29. 二次函數圖象特點應用 30. 統計月降水量 31. 如何合理抽稅 32. 市區車輛構成 33. 出租車車費的合理定價 34. 衣服的價格、質地、品牌，左右消費者觀念多少？ 35. 購房貸款決策問題 二. 指導學生的研究性活動 確立瞭數學研究性課題之後，教師在實際研究活動中要隨時給予學生進行指導： （1） 組織學生成立研究性課題小組，根據課題內容分小組進行課題活動。 （2） 開展前期課題材料收集，如：參觀農村、工廠，調查整理實際生活中的有關數據（繁華街道上的人流量與垃圾桶的設置，紅綠燈口的車流量與人流量等），網上收集有關課題資料。 （3） 課題小組定期匯報總結交流、建立健全研究性課題計劃制度。 （4） 學年課題結題，實施研究性成果量化評分。 （5） 把實際研究成果提交有關部門。 三．指導學生寫出數學研究性小論文 有瞭前期的一些準備工作，在學年結題之前教師要要求學生寫出數學研究性小論文： （1） 指導學生的理論性研究小論文。 （2） 指導學生的實際問題的研究小論文。 以上是我在教學實際中指導學生研究性學習的一些體會與做法，我在這裡強調研究性學習,其意義不隻是學習方式的簡單增減問題,而將導致學習觀念與方式的一系列轉變,比如可以有(1)由以外在的學習目的為主轉變為以內在的學習目的為主;(2)由被動學習轉變為自覺學習、主動探究、自主管理;(3)使過多的從聽中學、從看中學轉變為在此基礎上的多種方式的學習,如在做中學、在說中學、在畫中學、在試中學、在研究中學、在實踐中學、在交往中學、在玩中學等等;(4)由以個人學習為主轉變為單個與小組學習、個人與合作學習相結合刊5)由以知識學習為主轉變為不僅包括知識、技能,還包括能力、態度、道德品質、行為習慣、精神、觀念(科學的、人文的、藝術的);(6)由書本學習轉變為以此為基礎的基於活動的學習、基於生活的學習、基於網絡的學習;(7)由以認知為主的學習轉變為人的認知、情感等全方位投入、關涉生命的過程;(8)由封閉的、靜態的學習轉變為開放的、動態的學習過程;(9)由班級、在校學習轉變為終身學習(時間維度)、社會學習(空間維度);(10)由機械記憶式學習轉變為在獨立思考的基礎上的創新學習;等等。 此文獲全國教育科學“十五”規劃重點課題《數學教學效率論》中期成果一等獎 |
2014年2月27日星期四
數學研究性學習的理論與實踐
新課程理念下的數學課堂教學之我見
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lass=MyFav_1200364365678> 隨著新課程改革的進一步的深入,我們的課堂教學面臨許多挑戰：由於學生學習方式的轉變，在課堂教學活動中學生是否積極主動投入到探索之中？他們對學習是不是充滿熱情，是不是積極思考問題？老師是否也投入到學生的活動中，對學生的學習研究是否進行適時的啟發和指導，促進學生更有效的學習活動？是不是把學生作為教學的出發點？是不是給學生留下充分的思維空間等等，這些問題確實值得我們深思。“教學永遠是一門遺憾的藝術”。任何一堂課，當我們課後反思的時候，總覺得有一些不足和遺憾。而我們的教學藝術水平正是在不斷解決不足和遺憾的過程中，得到提升。為此，我們在課堂教學中更應加強以下幾方面的反思。 一 加強教學問題情境的創設 人的思維始於問題情境，問題情境具有情感上的吸引力，它能激發學生的學習興趣和求知欲。精心創設問題情境，就是解決數學知識的抽象性與學生思維的具體形象性之間的關系，用產生於真實情境中的問題，啟動學生的思維，激起學生對新知學習的熱情，拉近學生與新知的距離，為學生的學習作好充分的準備，為知識的產生、發展、形成作好鋪墊。由此支持鼓勵學生用自己的辦法解決問題。 例如，在講三角形的外接圓時，怎樣確定三角形外接圓的圓心，我先利用一些硬紙板做成殘缺圓，在課前幾分鐘發放給學生，要求學生進行補圓比賽，看誰能夠最快想出辦法把它補成一個完整的圓。應該怎樣補呢？學生在動手前就會對補圓的方法進行思考，當他們還沒有能夠想出解決的辦法時已經上課瞭，學生帶著還沒有解開的疑問走進課堂，頭腦中自然就形成一種懸念。這時，老師就指出：今天我們的學習任務就是來找找補圓的方法，相信在下課時你們一定會找到最合理的補圓方法，把現在沒有能夠完成的任務完成。要合理地補圓，這就要用到一個數學知識，也就是怎樣確定三角形外接圓的圓心……。” 在這節課的導入方法中我就是利用瞭學生的爭強好勝的心理，為學生們設置瞭一個小小的懸念，為瞭能夠解決老師提出的問題，在全班同學中顯示自己的能力，所以學生對這一節新課的內容就會產生濃厚的興趣，從而認真聽課，積極思考，當然課堂效果也會很好的，這正像一位著名學者說的：“教學法一旦觸及學生的情緒和意志領域，觸及學生的精神需要，這種教學就能發揮高度有效的作用。” 創設和學生已有的知識、經驗相適應的問題情境，能造成學生的認知沖突，可激發學生的參與欲望，使學生迅速沉浸於自主探究，欲罷不能的境地，從而為課堂教學的成功奠定良好的基礎。問題情境要放在學生跳起來夠得著的“最近發展區”，讓學生在力所能及的范圍內跳起來主動“摘果”。 二 立足於學生的生活實際，加強學用結合 數學來源於生活，又服務於生活。這就要求教師反思數學背景的現實性和“數學化”，必須以學生熟悉的現實生活為問題背景，讓學生從具體問題情境中抽象出數量關系，歸納出變化規律，並能用數學符號表示，最終解決實際問題。同時應註重培養學生“用數學”的意識，包括用數學眼光去觀察，用數學的知識去說明，用數學的方式去分析，用數學的思想去處理這四個方面的意識。內容的設計要符合學生的年齡特點和心理特征，適合學生的認知水平，既要貼近生活，聯系實際，又要靠近課本，使學生有興趣、有能力去嘗試解決生活中的數學問題。要堅持由淺入深，循序漸進，逐步提高的原則，這會給學生帶來新鮮感和親近感。教師必須設計好探索數學知識的臺階，包括設計好課堂提問和動手操作的步驟等，使不同智力水平的同學都能拾級而上，“跳一跳摘果子”，都能獲得經過自己艱苦探索，掌握數學知識後的愉快情緒體驗，從而得到心理上的補償和滿足，激勵他們獲得更多的成功。當學生在探索學習的過程中遇到困難或出現問題時，要適時、有效的幫助和引導學生，使所有的學生都能在數學學習中獲得成功感，樹立自信心，增強克服困難的勇氣和毅力。 教學中，要善於將書本知識與學生的生活實際聯系起來，科學地設計探究性問題，誘發學生的求知欲，鼓勵學生獨立思考，並學會用數學的思維方式去觀察，分析社會，從而解決日常生活中的實際問題。培養學生對實際問題的數學建模能力和綜合運用所學知識解決實際問題的能力。 教學中我曾經和學生做瞭這樣一個實驗，我們約定星期天一天不使用數學中的數字及方向和位置，看是否能度過這一天。實驗後，我讓學生交流體會，他們大部分都是實驗的失敗者，因為他們在生活中隨時都在用數學，如有的學生說，打電話、看電視、換頻道時要用到數字，到商場買東西付錢時也要用到數字；還有的說，放學回傢要知道準確的方向和位置……為瞭使學生切實體會到數學源於生活，我經常在課上註意讓大傢舉生活中的實例來說明問題，在教瞭"字母表示數"後我就讓學生為給出的代數式尋找實際背景或幾何背景，如：12x＋7y，學生找到瞭買賣問題，零件問題，工程問題，路程問題等等許多。在教瞭有理數加法後，我就讓學生畫一張從學校到自己傢的路線圖，讓同桌找一找自己傢的位置。就這樣，我和學生進一步體會到瞭數學在生活中的價值，同時，也使我明白，要註意從生活中去挖掘素材，使學生學到有用的數學。 同時加強學生對學數學的反思。要使學生體會到日常生活中隱含著豐富多彩的數學知識，學的是有價值的數學，要求學生時刻關註生活，用數學的眼光觀察生活，從生活中發現數學、理論聯系實際、多收集生活中的素材，並將所學數學知識具體運用到解決實際問題中去。如講"代數式的意義"時，我舉瞭許多生活中的例子讓學生感受代數式在生活中的運用，比如，碗的高度與碗的個數之間的關系，門票問題，學生買鉛筆,本子的問題等等，讓學生切實體會到數學在生活中的作用，增強學數學的興趣和信心。 三 加強數學知識的形成和學生學習過程地體驗，註重學生的動手、操作能力的訓練. 現代教學論認為：要讓學生動手做科學，而不是用“耳朵聽科學”。的確，思維往往從人的動作、活動參與開始的，切斷瞭活動與思維的聯系，思維就不能得到發展，而動手實踐，則最易激發學生的思維和想象。在教學活動中，教師要十分關註學生的直接經驗，讓學生在一系列的親身體驗中發現新知、理解、掌握新知、應用新知。 新課標非常重視學生的學習過程和動手操作，教學中，要重視知識的發生和發展過程，學生決不能隻知其然，而不知其所以然。要加強學生動手操作的內容，讓學生體驗數學結論的來歷，在操作過程中獲取解決問題的經驗。 例如:教學立體圖形這一節課時，由於它接近於實際生活。在瞭解學生已掌握的知識基礎上，可以讓他們自己總結、交流他們對立體圖形的感受、自己動手制作熟悉的立體圖形，並根據自己的想像利用豐富圖形構造生活實景。這樣避免瞭教師一味地講解，學生一味地記憶。課堂氣氛非常活躍，學生在輕松的學習氛圍中掌握瞭知識。又如在進行軸對稱圖形和軸對稱的教學時，可以組織這樣的活動：⑴組織一次對稱圖形制作比賽。用卡片，紙板，甚至三合板來制作，並進行比賽，參加的學生一定會在笑聲中感到創造的樂趣。⑵收集有對稱圖案的蝴蝶、動物的照片，進行展覽。⑶教學中借助一幅學生非常熟悉而又滑稽的大頭娃娃的頭像，通過“眼睛的不對稱，讓學生想辦法使其變成對稱”這樣一個過程，使學生在遊戲中初步感知“軸對稱圖形”，這樣的過程做到瞭“寓知識於遊戲，化抽象為形象，變空洞為具體”，使學生的學習具有形象性、趣味性、操作性。 四 加強學生的自主探究意識，培養創新和實踐能力 愛因斯坦說：“最重要的教育方法是鼓勵學生實際行動。”圍繞問題情境，給學生充足的時間和空間，放手讓學生自主探究，不僅可以充分調動學生的感覺器官和思維器官，更重要的是讓學生經歷和體驗知識的形成過程和問題的解決過程，從而在過程中開發學生的智能，展示全體學生的個性、創造性、能動性、提高學生的素質。這是學生發現問題、提出問題、自我創新的重要環節，是主體參與教學的基礎。例如：在圖形的全等中，學生通過積極開動腦筋，交流合作，找出多種不同的分法，這是我始料不及的，同時讓我深深地感到瞭學生內在的潛力是不可估量的，隻要我們懂得去挖掘。 新課標要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，並進一步尋求證據，給出證明或舉出反例。”在教學中，要加強學生對開放性問題的訓練，盡可能給學生創設適當的數學情境，讓學生展開研究，使不同層次的學生獲得不同層次的發展，培養學生的創新能力。課堂中設計的討論題，教師要進行有理有據的指導，讓學生之間進行討論研究，這樣學生在生動、活潑、民主和諧的學習環境中，既能獨立思考，又相互啟發，在共同完成認知的過程中加強思維表達，分析問題，解決問題能力的發展，逐步提高學生參與合作學習的活動質量。 如：在學完《字母表示數》時，讓學生談這節課的收獲，在搭火柴棒的遊戲中，讓學生談你今天怎樣與人合作，在學習《代數式》時，讓學生談這節課你最深地感受，在生活中你有這種經驗嗎?今天的學習對你的生活有哪些幫助?學生就在輕松的談話中，體驗著豐富的數學內容，而且在這種氛圍中，師生之間的情感也達到瞭和諧統一。 五 在課堂教學中要註重學生情感、態度、價值觀的培養
美國電影《師生情》有這樣一個片段：一位白人教師到黑人社區任教小學一年級，在第一節數學課中老師伸出五個手指問其中一名黑人孩子，"這是幾個手指？”，小孩憋瞭半天才答道：“三個。”老師沒有指責他說錯瞭，而是高興地大聲贊道：“你真利害，還差兩個你就數對瞭。”教師一句贊賞的話，就緩和瞭學生的心理壓力，收到瞭意想不到的效果。第三,教師要善於用放大鏡發現學生的閃光點，以表揚和鼓勵為主，對每個問題、每個學生的評價不可輕易否定，不隨便說“錯”，否則就會挫傷學生的學習積極性。教學中教師還要承認學生數學學習的個體差異，積極地鼓勵和肯定每個學生的每一進步。例如有的學生用課餘時間完成瞭書上帶＊的習題或思考題，就及時在課堂上表揚鼓勵，稱贊他們愛學習，能自覺學習。學習較差的學生，往往對學習沒有信心，沒有動力，教師不要過多的指責他們不努力、不認真學，對他們既要曉之以理，更要註意發現他們的微小進步，予以鼓勵，如告訴他們“你並不笨，隻要你能不斷努力，一定會學得很出色。” 隨著新一輪課程改革的不斷深入，我們的課堂教學正在大力營造和諧愉快、積極向上的文化氛圍，讓學生主動參與學習，培養學生的創新能力，充分發展學生的個性和培養學生自主學習能力已成為新課改的重要理念。在這種理念背景下，要求我們因地制宜,因材施教,充分把握和挖掘課堂中的有效資源,想方設法地創造寬松的教育環境,幫助學生實現學習方式根本的改變，培養學生養成動手實驗、自主探究、合作學習的學習方法。使課堂教學出現瞭許多異想不到的驚喜,亮點和效果。 一節好課能讓學生受益一生，課堂教學，不僅僅是讓學生獲得一種知識，還是讓學生擁有一種精神，一種立場，一種態度，一種不懈的追求。教學反思是一種有益的思維活動和再學習的自覺沖動，不斷反思，不斷地發現困惑。“教然後知困”,不斷發現一個個陌生的我，從而促使自己不斷求學求教，書海尋寶。學習反思的過程也是教師人生不斷輝煌的過程。教學反思可以激發教師的教學智慧，探索教材內容的嶄新表達方式，構建師生互動機制及學生學習的新方式。 一份耕耘，一份收獲。教學工作苦樂相伴。我將本著“勤學、善思、實幹”的準則，一如既往，再接再厲，把工作搞得更好。 參考文獻： 《新課程新理念》陳旭選主編，東北師范大學出版社 |
手持圖形計算器玩轉數學難題
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信息時報訊 在一部遙控器大小的計算器上輸入公式，一個正方體圖就清晰地出現在屏幕上，對於“數學恐懼癥”的女生來說真是福音！昨日，記者在廣鐵一中舉行的“全國圖形計算器與高中數學教學整合研究”會議上瞭解到，廣鐵一中學生正使用這款最先進的圖形計算器學習數學，而圖形計算器也將陸續走進廣州更多中學試點。 昨日，廣鐵一中高中數學老師劉國，使用圖形計算器上瞭一堂公開課。 直線與曲線交點，是數學的重要課程，可是如何呈現直線與曲線的交點呢？平時在黑板上作圖，老師可能要花費不少時間，可線路交叉又容易讓學生看不清楚。現在，隻需要在一部遙控器大小的計算器上輸入公式，直線與拋物線的交點以及動態過程就可以在幾秒鐘之內生成展現，幫助學生理解。不僅函數，圖形計算器還可以應用在統計、幾何、數列等數學領域裡。“特別是幾何，很多女生的空間想象能力不強，借助圖形計算器就容易理解瞭。”劉國老師說。 廣鐵一中校長周偉鋒介紹，通過圖形計算器，可以讓學生自主探究、發現規律，對尖端的數學問題進行挑戰、推導和驗證，現在該校兩個創新班的學生人手免費一臺，其餘學生還可以在數學探究室裡借用。 記者在該校數學探究室裡看到，該實驗室可謂“武裝到牙齒”，把世界最先進的設施網羅在一起：除瞭圖形計算器，探究室裡還包括3D教學平臺、幾何畫板、立體幾何、張景中院士“Z+Z平臺”等工具，借助現代化手段提高學生學習數學的興趣。（來源：信息時報） |
2012年度十大網絡流行語
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1.屌絲 屌絲幾乎開啟瞭一個人種劃分的新時代 沒有屌絲這個詞，我們都要開始疑惑，以前究竟是用多麼復雜的體系去描述生活中切實存在的這類人 屌絲，意指外形矮胖矬，或者舉止笨拙、猥瑣 2011年前後它隻是出現在百度貼吧，被一小撮人提及，2012年因為微博上一眾單身宅人的自嘲，從小眾詞匯變成大眾通行語 德國系列短劇《屌絲女士》（Knaller Frauen）的出爐，以及接著中國版《屌絲男士》的問世，更是把“屌絲”推至頂峰 據媒體說，蘊含著無奈與自嘲意味的“屌絲”二字，象征著庶民的文化勝利 2.高富帥&白富美 天造地設、門當戶對、佳偶天成……這些詞匯都是為他們而設計的 作為白富美的官方指定男友，2012年4-6月，高富帥頻頻出現，一時間，全天下的男人似乎隻能被分為兩類——高富帥和矮矬醜 屌絲們，顫抖吧！ 3.逆襲 誰說屌絲就要苦逼的活？誰說屌絲就要孤苦伶仃一輩子？誰說屌絲就不能有快樂？誰說屌絲的命天註定？在這個世界上有一條神秘的道路，上位高富帥，抱得白富美，這個大團圓結局充滿喜感又讓人滿足，島國說ぎゃしゅう，美帝說Counter Attack，在逆境中反擊成功，此乃“逆襲” 4.我能說臟話嗎？ 全國人民都要感謝3月22日那位油價哥，當嘉興電視臺的記者面對油價上漲隨機采訪路人時，他耿直地說出“我可以說臟話嗎”，在遭到記者拒絕後，更表示無話可說 如此的無奈卻恰恰擊中所有人憤怒而無處宣泄的心聲，對於不平不公，除瞭臟話無話可說 5.你幸福嗎？ 假如2012真的是世界末日瞭，究竟有多少人抓住瞭幸福的尾巴？還是大多數人都認為世界末日才是幸福的？央視如此地體貼民情，以至於把這樣一個沉重的話題演繹成瞭搞笑片 2012年中秋、國慶雙節前，在《走基層百姓心聲》特別調查節目中，當記者把話筒遞向打工者問，“你幸福嗎？”打工者愣瞭下神，回復說“我姓曾” 人們再度思考什麼是幸福，它有影兒嗎？此舉一度導致福爾康躺著中槍，依稀看到無數網友羨慕嫉妒恨地咆哮道，“我不姓福，我不是爾康！” 6.正能量 本年度最“正能量”的網絡熱詞 早在十年前，《秘密》作者朗達？拜恩就說過，宇宙中有一股強大的正能量，這股“能量”能讓人擁有想要的一切 而隨著倫敦奧運“激勵一代人”的熱血和北京7?21暴雨中溫情的催化，正能量有瞭全新的詮釋——一切予人向上和希望、促使人不斷追求、讓生活變得圓滿幸福的動力和感情 韓少在給某電商品牌做廣告時，一句“正能量，無所畏”，讓這個詞徹底火瞭 7.×× Style 韓國歌手“鳥叔”PSY的這首單曲《GangnamStyle》在9-10月極度發酵，達到火熱頂峰，緊接著XX Style成為新的流行短句在網絡和口頭傳播 比如微博熱傳的楊浦Style、理工科男Style、屌絲Style……神曲終會消失，但“XXstyle”的精神將會永存 不信請聽，“？？航母Style”，走起！ 8.元芳，你怎麼看？ 我們有著尊貴品位的網友們最擅長的事情就是喜新厭舊，所以一個詞語紅與不紅根本不需要任何理由 2012年9月-10月，《神探狄仁傑》中狄仁傑的這句口頭禪突然爆紅，各種媒體都引用元芳體作為標題或結尾 據說一個詞被過度消費隻會導致兩個結果，要麼長存，要麼消亡 顯然，元芳體屬於後者 元芳，我煩你瞭，你怎麼看？ 9.甄嬛體 這不是一個詞，這是一種詞 語者文藝十足，語調不急不緩，口氣不驚不乍，形態從容大方，“甄嬛體”想必是極富立體感和畫面感的一種語體，真真叫人歡喜，想來倒也不負《後宮甄嬛傳》大熱一場 幾個月後有人大吼，“說人話！”，世界又正常瞭 10.約架 可惜《非誠勿擾》裡的“分歧終端機”在網絡世界派不上用場，要不然朝陽公園也不會榮幸成為約架勝地 網絡暴力正式線上打至線下，從微博遷戶現實，上演瞭一場O2O大戲 電商企業情不自禁也被這種超前的O2O形態感染，不約而同在盛夏上演瞭一場電商“約架”大戲，好生熱鬧 上一篇范文： 建設法治中國實現公平正義下一篇范文： 沒有瞭 分享到： |
美開發出交通擁堵數學模型
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來自美國麻省理工學院的一組研究人員日前稱，他們設計出一種用於描述交通擁堵的數學模型，通過該模型可對交通擁堵出現的時間和狀況進行模擬。相關數據可為道路設計和時速設定提供參考。相關研究近日發表在《美國物理評論E》雜志網站上。 交通擁堵耗費瞭人們大量的時間，而最讓人難以忍受的是一種被稱為“幽靈堵塞”的狀況：沒有事故、沒有停頓車輛，也沒有封閉施工的車道，但當你開始加速時，看上去也在前行的車輛卻又迅速加入瞭另一處交通擁堵。高密度的交通中更是如此，無論是一個新手急剎車還是太近的車距都會導致擁堵。 此前日本科學傢的一項實驗也證實瞭這一現象。在一條環形的實驗路段上，雖然參與測試的司機都被要求以30公裡的時速和固定的車距行駛，但沒過多久還是出現瞭擁堵。 麻省理工學院數學系講師阿斯蘭•卡西莫夫解釋稱，這種現象類似於爆炸後所產生的爆震波，這種爆震波是一個可以自我持續的波形。在這種波形中存在一個被稱為“聲速點”的臨界點，交通流量以其分為上遊和下遊兩個組成部分。就像黑洞的“事件穹限（即黑洞邊緣）”一樣，當發生“幽靈堵塞”時，位於交通堵塞內外的司機都無法得知對方區域的情況，而自由流動的信息也隻能傳遞到交通擁堵區域“聲速點”的上遊。在這樣的情況下，車輛就會陷入交通擁堵之中，司機卻無法找到明確的原因。相應的他們也無法判斷何時交通狀況才能得到改善。而研究人員借用流體力學方程，以交通的速度和密度為變量，就可以推算出導致出現擁堵的條件，以及蔓延趨勢。 負責該研究的加拿大阿爾伯達大學莫裡斯•弗林說，一旦擁堵形成就很難被迅速疏通，司機們就隻能等待。該模型可以幫助道路工程設計師盡量避免此類事件的發生，也可確定事故多發地段車輛的安全時速。在今後的研究中，他們還將對車道的數量與擁堵的關系展開研究，以期對更有效的交通設計提供支持。 |
2014年2月26日星期三
陜西合陽縣總多措改進機關作風
陜西合陽縣總多措改進機關作風 |
中工網訊 日前，合陽縣總工會開展“踐行十八大精神，走基層、轉作風、為民服務”集中教育活動，修訂涉及工會幹部工作、生活各方面的各項規章制度，進一步轉變機關幹部作風。 為幫助基層解決實際問題，合陽縣總工會建立包聯基層工作制。機關全體人員每人分片包聯鄉鎮、行業工會聯合會。要求工會幹部必須做好作風建設的“先行者”，要沉下身子、放下架子，通過蹲點調研，真實摸清基層工會狀況，準確掌握基層職工思想動態，從而有效指導和幫助基層工會開展工作，切實幫助職工解決實際困難。 為提升機關幹部工作效能，合陽縣總工會機關中實行瞭服務承諾制。對自己分管的工作，必須在規定的時限完成，特別是對於職工來信來訪，自接待之日起，須在30日內給予反饋，對於職工申請的法律援助和困難申請，必須在規定的時限給予解決。同時，還通過改革工作考核辦法引導機關幹部轉變作風，在集中教育活動中工會將全年的工作任務、出勤情況、工作效能及服務承諾等方面工作細化到每個同志，以推動幹部不斷改進工作作風服務基層。 本報記者楊濤通訊員 張宏 |
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堅持走中國特色社會主義工會發展道路 以優異成績迎接黨的十八大勝利召開
堅持走中國特色社會主義工會發展道路 以優異成績迎接黨的十八大勝利召開 |
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6月14日至17日，中共中央政治局委員、全國人大常委會副委員長、中華全國總工會主席王兆國在山東考察。湯序民 攝 中工網山東棗莊6月17日電 （記者 王嬌萍）夏日的齊魯大地，滿目蒼翠、生機盎然。6月14日至17日，中共中央政治局委員、全國人大常委會副委員長、中華全國總工會主席王兆國在山東考察工作。他強調，要始終堅定走中國特色社會主義道路的理想信念，把中國特色社會主義工會發展道路學習好宣傳好實踐好，紮實做好工會各項工作，團結動員廣大職工充分發揮主力軍作用，以優異成績迎接黨的十八大勝利召開。 連日來，王兆國在山東省委書記薑異康、省長薑大明和全總副主席、書記處第一書記王玉普等陪同下，來到濟南和棗莊實地考察當地經濟社會發展情況，先後走訪瞭濟南市總工會困難職工幫扶中心和浪潮集團、中國重汽集團等企業，看望困難職工、工會幹部和企業一線的幹部職工。在濟南期間，他還與山東省總工會領導班子親切座談，並發表重要講話。 王兆國對山東省近年來緊緊圍繞建設經濟文化強省、實現富民強省新跨越的目標，加快由大到強的戰略性轉變，經濟社會發展取得的顯著成就給予高度評價；對山東省各級工會在構建和諧勞動關系、為職工辦實事、組織動員廣大職工創先爭優建功立業等方面取得的突出成績予以充分肯定。 王兆國指出，始終堅持中國特色社會主義道路、理論體系和制度，是事關黨和國傢前途命運、事關中華民族根本利益的重大問題。作為黨領導的人民團體，中國工會必須堅定理想信念。中國特色社會主義工會發展道路是中國工會從中國國情出發，在改革開放實踐中探索形成的一條適合自己發展的道路，是歷屆工會領導和各級工會組織、廣大工會幹部智慧和心血的結晶，必須旗幟鮮明、堅定不移地長期堅持。 王兆國強調，社會物質財富和精神財富要靠勞動創造，實現發展要靠實體經濟推動。必須按照穩中求進、科學發展的要求，大力弘揚工人階級偉大品格和勞模精神，團結動員廣大職工通過勤奮勞動、誠實勞動、創新勞動，促進經濟社會平穩較快發展。要以“面對面、心貼心、實打實服務職工在基層”活動為契機，紮實做好新形勢下職工群眾工作，在積極參與加強和創新社會管理中切實體現工會作為。要繼續推動“兩個普遍”，大力發展和諧勞動關系，更好地維護職工合法權益，以職工隊伍的穩定促進社會和諧。 全國人大常委會副秘書長王萬賓、全總書記處書記李濱生和山東省委常委、副省長孫偉，山東省委常委、濟南市委書記王敏，山東省委常委、省委秘書長雷建國，山東省委常委、省委統戰部長顏世元，山東省人大常委會副主任、省總工會主席劉玉功等陪同考察。 |
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黑龍江農墾勤得利農場工會“三步”興城戰略溫暖職工心窩
黑龍江農墾勤得利農場工會“三步”興城戰略溫暖職工心窩 |
中工網訊 “我們現在都住上樓房瞭，沒事的時候出來在廣場上溜溜彎兒，唱唱歌，挺好的。這要是和前些年比啊，真是幸福多瞭。”3月19日，在勤得利農場的文化廣場上，牽著小狗遛彎兒的張鳳翔老人激動的對筆者說。 今年，這個農場認真貫徹落實總局“強工、興城、優農”的發展戰略，並將“興城”作為發展民生工程的主要手段。這個農場提出“搬得早、住得好、水平高”三步發展階段。2011年就完成瞭管理區整體搬遷工作，城區新建住宅樓108棟，總面積達43.52萬平方米，實現瞭職工“住樓夢”。為瞭讓職工“住得好”，這個農場打造“花園式”小區。在整體搬遷新區綠化面積90畝，栽植大樹5000餘株、亞喬木1.2萬株、花卉20餘萬株、草坪3萬平方米。今年，這個農場將大力發展文體事業，加強公共文化服務體系建設，投資1200萬元新建4519平方米職工活動中心；投資500萬元在潤濱小區新建1.2萬平方米群眾文化廣場，實現瞭職工生活水平的逐步提高的發展目標。 目前，在勤得利農場的文化廣場和社區文體中心，我們都經常可以聽到職工歡樂的歌聲和笑聲，“三步”興城戰略真正的溫暖瞭職工的心窩。（王飛） |
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遼源龍山區職業化工會主席深入基層大走訪攜10萬元專項資金，對18個社區、兩個鄉鎮的168名特困職工進行慰問
遼源龍山區職業化工會主席深入基層大走訪攜10萬元專項資金，對18個社區、兩個鄉鎮的168名特困職工進行慰問 |
中工網訊（通訊員 吳耀輝）在今年遼源市龍山區總工會的“兩節”送溫暖困難職工大走訪活動中，區總工會籌集10萬元作為職業化工會主席走訪困難職工的專項資金。何忠江等10名職業化工會主席走訪慰問瞭轄區聯合工會的168名特困職工，送去瞭工會組織的溫暖和關懷。 1月18日，北壽街道聯合工會主席何忠江與兩名工會委員頂風冒雪來到下崗女工孫明宇傢。46歲的孫明宇患有紅斑狼瘡等疾病，喪失瞭勞動能力，生活特別困難。當何忠江把慰問金交到孫明宇手中時，她感動得連說“謝謝，謝謝”。何忠江告訴她：“你就安心養病吧，也讓孩子靜心讀書。工會組織非常關心你的生活，我們也會常來看望你的……” 賀艷傢是低保傢庭，丈夫失業多年身患疾病，她本人在市仟喜幼兒園打工10餘年，工作兢兢業業。然而去年10月，賀艷被檢查出患有卵巢癌，他們全傢四處籌措10多萬元的住院治療費。1月20日，東吉街道聯合工會人員來到幼兒園看望賀艷，叢園長不住地誇著她，“賀艷工作認真負責，小朋友們特別喜歡她。這不，手術後正在康復就堅持來上班。”賀艷表示：“這次得病大傢都給瞭我很大的關心和幫助。我隻有好好工作，用愛心回報社會。” 在這次大走訪過程中，有的聯合工會單獨進行走訪，有的聯合工會與社區一同進行瞭走訪。1月25日，西寧街聯合工會主席鄒金鳳與西寧社區領導一起，對轄區困難黨員、困難職工進行瞭走訪，分別為他們送去瞭米、面、油等生活必需品和慰問金。站前街道聯合工會對重型粉磨選礦特困職工亻佈 春利、東吉街道聯合工會在對銀座商貿特困職工丁少華進行慰問…… 據瞭解，這次龍山區非公企業聯合工會的10名職業化工會主席對轄區18個社區、兩個鄉鎮的168名特困職工、下崗職工、農民工等進行瞭送溫暖大走訪活動。在特困職工傢裡，職業化工會主席與他們面對面地交談，心貼心地交流。 一個個感人的場面，一句句溫暖的話語，都讓受助職工心情久久不能平靜。走訪的慰問品和慰問金並不多，但他們對黨和政府以及工會組織的感激之情卻是由衷地發自內心。 |
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“中國特色社會主義工會發展道路”學習班在中央黨校開班王玉普為學習班授課
“中國特色社會主義工會發展道路”學習班在中央黨校開班王玉普為學習班授課 |
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全國總工會副主席、書記處第一書記王玉普為培訓班授課。中工網記者 邱曄 攝 學員認真聽講。中工網記者 邱曄 攝 專題學習班開班儀式現場。中工網記者 邱曄 攝 中工網北京4月10日電（記者 王嬌萍）正值全國各級工會組織和廣大工會幹部深入學習、廣泛宣傳、積極實踐中國特色社會主義工會發展道路之際，“中國特色社會主義工會發展道路”專題學習班今天在中央黨校開班。全總副主席、書記處第一書記、黨組書記王玉普首先為學習班授課，強調要深刻認識中國特色社會主義工會發展道路的重大現實意義，自覺地運用這條道路統一思想、堅定信念、指導實踐，努力推動工會工作創新發展，更好地發揮工會組織在黨和國傢大局中的重要作用。 王玉普從中國特色社會主義工會發展道路適應推進中國特色社會主義偉大事業的時代要求、符合我國社會主義初級階段基本國情、體現中國工會的性質和特點三個方面，全面闡述瞭這條道路是中國工運事業蓬勃發展的必由之路、成功之路、勝利之路。 王玉普強調，學習宣傳實踐中國特色社會主義工會發展道路，是堅定廣大工會幹部理想信念、進一步統一思想的迫切需要；是把握國際國內形勢、順應我國職工隊伍和勞動關系的發展變化，指導工會工作實踐的現實需要；也是增強工會幹部能力水平、永葆工會生機活力的重要保障。為此，必須真正掌握中國特色社會主義工會發展道路的立場、觀點、方法，提高鑒別是非、推動實踐的能力，保持工會工作的正確方向；必須把工會發展道路的指導思想、總體要求、基本原則貫穿到工會工作實踐中去，自覺運用其思想方法與工作方法，推動工會工作創新發展；必須改進工會幹部隊伍的思想觀念、工作作風、業務素質，提高工會履職能力，提升工會建設科學化水平。 王玉普要求各級工會和工會幹部特別是領導幹部，把學習宣傳實踐工會發展道路作為一項緊迫的任務抓實抓好，使學習宣傳實踐工會發展道路的過程成為解決工會工作難題，推動工會工作創新發展的過程。要大力發展社會主義勞動競賽，團結帶領廣大職工為推動科學發展建功立業；要積極推動構建和諧勞動關系，大力維護職工合法權益、努力促進社會和諧穩定；要紮實推進“面對面、心貼心、實打實服務職工在基層”活動，切實改進工作作風、密切聯系職工群眾，努力使中國特色社會主義工會發展道路越走越寬廣。 全總副主席、書記處書記、黨組副書記陳豪在開班式上作動員講話，希望大傢通過集中深入的學習、研究，系統學習領會黨中央關於工人階級和工會工作的重要指示精神，深刻理解和全面把握中國特色社會主義工會發展道路的科學內涵、精神實質、理論體系，提高理論素養，拓展視野思路，提高各級工會服務科學發展、服務社會和諧、服務職工群眾的能力和水平，推動黨領導下的工運事業不斷創新發展。 中央黨校常務副校長李景田出席開班式。中央黨校副校長李書磊在開班式上致辭。全總副主席、書記處書記、黨組副書記張鳴起主持開班式。段敦厚、倪健民、陳榮書、張世平、爾肯江·吐拉洪、王瑞生、李世明、江廣平、李濱生等全總領導出席開班式並聽取專題報告。 據悉，“中國特色社會主義工會發展道路”專題學習班為期3天，將通過專傢授課、專題講座和座談交流等形式，系統研討中國特色社會主義工會發展道路有關理論和實踐，並聽取當前我國經濟形勢及政策走向、國際工運形勢、管理創新與社會和諧、新形勢下國傢安全等課程。 全總書記處部分同志，各省（區、市）總工會，各全國產業工會，中央直屬機關工會、中央國傢機關工會，全總各部門、各直屬單位等主要負責同志參加專題學習班。 |
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2014年2月25日星期二
2005年普通高等學校招生全國統一考試 數學（廣東理科卷）
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清華現肉麻數學情書 號稱高中學歷以上才能看懂
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還記得南大“物理哥”的那封物理情書嗎？枯燥的物理知識被感性地說出，不少女生立刻感動的一把鼻涕一把眼淚。而清華大學也冒出瞭一封“數學式”情書，號稱“隻有高中或高中以上水平才能看懂”。 “我們的心就是一個圓形，因為它的離心率永遠是零。我對你的思念就是一個循環小數，一遍一遍，執迷不悟。我們就是拋物線，你是焦點，我是準線，你想我有多深，我念你便有多真。”看到這幾句話還能勉強理解，這不就是當年數學傢對麻子女友的一句“你臉上的小數點真可愛”的現實版本嘛。 但繼續看這封情書就沒那麼通俗易懂瞭，“零向量可以有很多方向，卻隻有一個長度，就像我，可以有很多朋友，卻隻有一個你，值得我來守護。生活，可以是甜的，也可以是苦的，但卻不能沒有你，枯燥平平，就像分母，可以是正的，也可以是負的，卻不能沒有意義，取值為零。有瞭你，我的世界才有無窮大，因為任何實數，都無法表達，我對你深深的love。我對你的感情，就像以自然對數e為底的指數函數，不論經過多少求導的風雨，依然不改本色，真情永駐。” “有才，真肉麻。”網友們讀到這裡開始感慨起這個世界上“人才”的各種強大。同時還錦上添花的給創作者“高要求”，“中間這段的修飾語太多有點累贅，麻煩你去掉好不好？” 情書裡包含的數學知識把人忽悠的雲裡霧裡，“正弦函數”“隨機變量”“求導”等等。但最後還是回歸到瞭“說教”的本色，“情人是多麼的神秘，卻又如此的美妙，就像數學，可以這麼通俗，卻又那般深奧。隻有把握真題的規律，考試的綱要，才能叩啟象牙的神塔，迎接情人的懷抱。” 這下把圍觀網友們剛剛驚起的雞皮疙瘩又重新縮瞭回去，“什麼嘛，到最後還是個數學老師的‘勸學’文章嘛。”“趕腳(感覺)這個老師喜歡數學比喜歡情人更多一點。”雖然如此，但“情書”還是讓不少人看到瞭它的利用價值，“要是內容裡套上數學公式就可以用來復習瞭。” “敢情這兄弟追的一定得是個學數學的理科姑娘，不然誰看的懂呀？”在長達兩百多條的評論中，終於有一位網友“真相”瞭一回。“每說一句都得給女朋友解釋一下，真夠費勁。浪漫的氣氛全都沒瞭。”“我讀懂瞭，說明我的數學還行，哈哈。”還有人開始看著情書“憶苦思甜”，大聲嘮叨起想念高中的話題。“四年一過高中的那些數學原理全都忘光瞭。” |
課外園地·典型例題
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課外園地·典型例題 求{an}的通項公式． 解：由(2)an+1-an=2n ∴ an-an-1＝2(n-1) an-1-an-2＝2(n-2) an-2-an-3＝2(n-3) …… a3-a2＝2×2 a2-a1＝2×1 以上n-1個等式相加得an-a1＝ 2[1+2+3+…+(n-1)]＝n(n-1) ∴ an= n(n-1)+a1＝n2-n+1 ∴ {an}通式為an＝n2-n+1(n∈N) 【說明】 上述分法叫做“迭加法”．在給出遞推關系求數列通項公式時，經常用． (1)求{an}的通項公式； 解：(1)nan+1＝2(a1+a2+…+an) ＝2(a1+a2+…+an-1)+2an ＝(n-1)an+2an＝(n+1)an ∴{an}通項公式為an＝n(n∈N) 【說明】 搞清楚關系式中“下標”間的對應規律，並能靈活應用是解題的關鍵． 【分析】 數列各項的分子成等差，分母成等比，從這一特征入手． ① ② 【說明】 解題方法是課本中等比數列求和公式的推導方法． 解：當 n=1時 當n≥2(n∈N)時 =n(n-1) ∵當 n≥2時 【說明】 先從前n項和入手求出通項公式，再從通項入手，根據特征采用“裂項”的方法． 正切公式，再進一步尋求數列的規律． ∴ an+1=an+15° 即{an}是公差為15°的等差數列 ∴an+12＝an+12×15°=180°+an． ∴tgan+12=tg(180°+an)=tgan ∴xn+12=xn ∴x1993-x193=x1-x1=0 【說明】 尋找變化周期是解此類題目的思路． 【例6】 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為______． 解：設b2＝S2m-Sm＝100-30＝70 則b2-Sm=70-30=40 b3=S3m-S2m＝70+40=110 S3m=S2m+b3＝100+110＝210 ∴前3m項和為210． 【說明】 掌握一些等差數列的補充性質，解題方便迅捷． 【例7】 設{an}是G．P．，a4·a7＝-512，a3+a8＝124，且公比q為整數，則a10等於______． 【分析】 運用等比數列的性質，減少變量個數—a3·a8＝a4·a7=-512 解：∵{an}是 G． P． ∴a4·a7＝a3·a8＝-512． 又 a3+a8＝124 ∴a10=a8·q2＝128·(-2)2＝512． ∴ a10＝512． 證明：設等差數列{an}的公差為d 由 an+1=a1+nd 【說明】 運用等差數列性質：an+1＝a1+nd解題，對簡化解題過程有很大幫助． ＝(n-1)a1an 要註意分為d＝0或d≠0兩種情況討論 當d＝0時，由(1)得 a1＝a2＝a3＝…＝an 於是a1a2+a2a3+…+an-1an＝(n-1)a12=(n-1)a1an 當d≠0時，由(1)式得 ∴a1a2+a2a3+…+an-1an ∴a1a2+a2a3+…+an-1an＝(n-1)a1an 【說明】 本題與例3類似，均在解題過程中運用瞭拆項相消的方法．【例10】 已知：等比數列{an}中，公比q≠1，a1＝a，試求數列中前n項所有不同兩項乘積之和． 解：由已知：數列{an2}是首項為a2，公比為q2的等比數列． 【說明】 善於分析，富於聯想，是尋求解題方法的前提． 【例11】 證明：對於任意0≤α≤1與任意滿足條件1≥x1≥x2≥…≥xn＞0的實數x1，x2…xn有(2+x1+x2+…+xn)α≤1+1α-1x1α+2α-1x2α+…+nα-1xnα 【分析】 觀察題目，這道題是關於自然數n的命題，考慮用數學歸納法． 證明：1°n＝1時(1+x1)α≤1+x1≤1+x1α，命題成立 2°假設n＝k時命題成立，即(1+x1+x2+…+xk)α≤1+1α-1x1α十2α-1x2α+…+kα-1xkα 則n＝k+1時 (1+x1+x2+…+xk+1)α ∴n=k+1時命題成立 ∴對一切正整數n命題均成立 【說明】 此題是使用數學歸納法最基本的形式：先證起點，再利用歸納假設證明遞歸關系，即第一數學歸納法． 【例12】 求證：如果x1和x2是方程x2-6x+1＝0的根，那麼x1n+x2n對任意n∈N都是整數． 證明：1°當n=1時x1+x2＝6，6∈Z 當n=2時 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2＝62-2×1＝34，34∈Z 令S1＝x1+x2，S2＝x12+x22，…，Sn=x1n+x2n 2°設n≤k時，Sn是整數 則n＝k+1時 ∴Sk+1=6Sk-Sk-1 由假設Sk∈Z，Sk-1∈Z ∴Sk+1∈Z ∴當n＝k+1時命題成立． ∴對任何 n∈N， Sn＝x1n+x2n都是整數． 【說明】 本題在假設時，加強瞭條件，設當n≤k時，命題均成立，這就是第二數學歸納法． 【例13】 證明：對任意自然數n，方程x2+y2＝zn都有正整數解 證明：1°n＝1時，任取正整數x0， y0，並取z0=x02+y02，則x0，y0，z0即為方程的一組解，n＝2時，取一組勾股數即可，如x＝3，y＝4，z＝5 由上，n＝1，2時命題成立． 2°假設 n＝k時命題成立，x0，y0，z0是方程 x2+y2＝ zk的一組正整數解．取x1＝x0z0，y1=y0z0，z1＝z0，則有x12+y12=z02(x02+y02)=z0K+2＝z1k+2 ∴x1，y1，z1是方程x2+y2＝zk+2的一組正整數解，即n＝k+2時命題成立 ∴對於一切正整數n，命題成立． 【說明】 通常，數學歸納法都是由P(k)成立(或由P(n)，n≤k成立)推出P(k+1)成立，每次“步長”為1，但有些命題隻能由 P(k)推出 P(k+l)(l≥2)成立，此時隻需在證起點時驗證l個起點成立即可． 對一切n∈N，都有an＞1 【分析】 a1＝1+a，顯然命題成立，若設ak＞1，則很難推出ak+1＞1．要推出ak+1＞1，必須設法知道ak的上限，於是就要知道a1的上 ∴命題成立 ＝a+1 ∴n＝k+1時，命題成立 【說明】 在運用數學歸納法時，為使第二步便於推證，或為瞭能利用原題未明確給出的某些條件，而要去設計一個比原題結論更強的命題，加強瞭假設條件，能更方便的解決瞭問題． 正整數，且p≥2，q≥1) 【分析】 這是關於p、q兩個正整數的命題，如果對每個變量都進行歸納，則太過於麻煩，因此可考慮僅對其中一個歸納，使另一變量具有任意性． ∴當 p＝k+1時，命題成立 上一篇范文： 第七屆日本數學奧林匹克競賽試題下一篇范文： 函數·易錯點評析 分享到： |
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