走進數學思維（四）：數學思維的科學

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由前面關於“數學活動”的分析我們顯然可以獲得這樣的啟示：就數學思維的教學而言，最有效的方法是將其滲透於具體數學知識與技能的教學之中，因為這不僅可以使學生更好地體會數學思維的作用和意義，從而真正成為可以學到手和能夠加以推廣應用的，也可使相關的知識內容成為可以理解的，從而徹底改變囫圇吞棗、死記硬背的現象。 應當指明的是，這事實上也可看成中學數學教學的相關實踐所給予我們的一個重要教益。具體地說，從20世紀80年代開始，作為研究數學思維的一門專門學問，數學方法論在我國得到瞭迅速發展，不僅獲得瞭一系列重要的研究成果，而且也在促進實際數學教學活動方面取得瞭突出成績，這就是“數學方法論指導下的數學教學”。(對此可參見鄭毓信所著的《數學方法論》，廣西教育出版社，1991年版；或鄭毓信所著的人數學方法論入門夕，浙江教育出版灶，2006年版) 基於這樣的背景，以下情況的出現就十分自然瞭，即有不少學者都力圖將“數學方法論”及其相關成果直接推廣應用於小學數學教學。但是，根據筆者的親身體驗，我們首先應清楚地認識到這樣一點：如果不能針對小學數學的具體內容與小學生的認知水平進行具體分析，任何簡單的移植都不可能獲得成功。例如，有不少這樣的論著，盡管它們都以“小學數學方法論”(或其他類似的題目)作為書名或標題，但其主要內容則源白一般的數學方法論著作，如“函數思想”“極限思想”“集合思想”的詳細論述等。在筆者看來，這些事實上都已超出瞭小學生的接受水平。 為瞭清楚地說明問題，以下就以“類比(聯想)”為例來進行分析。正如人們所廣泛瞭解的，在一般的數學方法論著作中，類比常常被列為最基本的一種數學思維。也就是說，在數學中我們常常可以通過兩類不同對象的比較獲得一定的聯想，包括由已知的結論引出關於未知對象的新的猜測，以及由已有的知識獲得關於如何求解所面臨的新問題的有益啟示等。盡管在小學數學教學中我們也可找到類比的諸多應用，但同時又應清楚地看到這樣一點：相對於簡單的比較與分類而言，類比應當說代表瞭更為復雜的一種思維形式。因為作為類比的對象必定是兩類不同的對象，盡管在類比時也用到瞭比較，但我們的目的是“觸類旁通”，即如何能夠通過找出兩類不同對象之間的類似之處從而引出一定的聯想，而聯想的核心就在於“求同存異”。“求同”是指，為瞭應用類比，我們並不需要相關對象在所有各個方面都彼此相似，而隻要求兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的；所謂的“存異”則是指新的猜測的產生並不是簡單的重復、模仿，而是一種創造性的工作，特別是在由已知事實去引出新的猜測時，我們必須註意分析兩者之間所存在的差異，並依據對象的具體情況作出適當的調整。 正因為類比必須以一定的知識作為聯想的基礎，而且要用到“求同存異”這樣一種相當復雜的思維形式，因此，要求小學生，特別是低年級小學生掌握這樣一種思維方式是十分困難的；毋寧說，我們應首先要求學生較好地掌握簡單的比較與分類。 另外，以下的真實故事顯然也就表明：與所謂的“集合思想”相比，要求小學生掌握分類的思想可能更為恰當。 【例十】“除非它們都能站起來！” 這一故事發生在20世紀60年代，當時“新數運動”作為風靡全球的一次數學教育改革運動正處於高潮之中，而其核心思想就是認為應當用現代數學思想對傳統的數學教育作出改造。由於集合的概念在現代數學中占據瞭特別重要的位置，因此，下述情況的出現就不足為奇瞭。 一個數學傢的女兒從幼兒園放學回到傢中，父親問她今天學到瞭什麼。女兒高興地回答道：“我們今天學瞭‘集合’。”數學傢覺得這樣一個高度抽象的概念，對於女兒這樣年齡的孩子來說實在太難理解瞭，因此就關切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂！一點也不難。”“這麼抽象的概念會這樣容易理解嗎?”聽瞭女兒的回答，作為數學傢的父親仍然放心不下，因此又追問道：“你們的老師是怎麼教你們的?”女兒回答道：“老師先讓班上所有的男孩子站起來，然後告訴大傢這就是男孩子的集合；她又讓所有的女孩子站起來，並說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最後，教師問全班：‘大傢是否都懂瞭?’她得到瞭肯定的答復。” 顯然，這個教師所采用的教學方法並沒有什麼問題，甚至可以說相當不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最後的檢驗：“那麼，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合?”女兒遲疑瞭一會，最終作出瞭這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！” 基於同樣的認識，筆者以為，要小學生掌握函數思想、極限思想也有點高不可攀；毋寧說，即使就小學高年級學生而言，幫助他們初步理解變化的思想與無限的思想恐怕才真正可行。 以下再轉向如何進行數學思維教學的問題，特別是如何用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，對此也可先來看一個實例。 【例十一】少年時代的高斯如何很快求得1+2+3+……+99=4950的？ 由於缺乏可靠的資料，我們現在已不可能準確地知道少年時代的高斯究竟是如何很快求得1+2+3+…+99=4950的。但是，通過如下的“方法淪重建”，我們仍然可以達到“化神奇為平凡、化復雜為簡單”的目的。 以下的解題過程(如圖1)是學生們較為熟悉的： 因此，由簡單的類比我們就可想到：為瞭求得S=1+2+3+…+99的結果，我們可以首先去計算： 2S=(1+2+3+……+99)+(99+98+97+……+1)=100×99=9900 這樣，我們就可立即獲得最終的結果：S=4950。 顯然，“方法論重建”十分清楚地表明瞭教學工作的創造性。而其根本意義在於，通過深入揭示隱藏在具體數學知識背後的思維方法，可以把數學課真正“講活”“講懂” “講深”：通過方法論的重建，我們可以向學生展現“活生生的”數學研究工作，而不是死的數學知識，這就是所謂的“講活”；還可以幫助學生真正理解有關教學內容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，這就是“講懂”；我們不僅能使學生掌握具體的數學知識，而且也能幫助學生逐步領會乃至掌握內在的思維方法，這也就是所謂的“講深”。 以下的實例則集中地表明瞭數學傢在面對問題時是如何進行思考和探索的，特別是一些定型的問題和建議更可看成所謂的“數學啟發法”(或者說“解題策略”)的核心所在。 【例十二】“幻方” 如何在圖2所示的九個方格中分別填人1-9這九個自然數，使得每一行、每一列、每條對角線上的數的和都相等? 圖2 首先，可以考慮這樣一個問題：什麼樣的信息可以使得這一問題變得較為容易求解?顯然，如果我們能知道每一行、每一列、每條對角線上的數的和究竟是多少，這個問題就會變得較為容易求解。從而，我們事實上就用到瞭這樣一條啟發性原則： 設立次目標：努力求得部分的結果，並利用它作為出發點去求取剩餘的部分。 然而，我們怎樣才能求得所說的和呢?假設我們已經獲得瞭所要求的答案，我們可以由此去推出答案所必然具有的性質。 現假設所說的和為S，把三列全部加起來，其和顯然為3S。但它同時又等於1～9這九個數的和，即45，從而就有S=15。 在此我們用到瞭這樣的啟發性原則： 從後往前推：假設我們已經獲得瞭答案，由此從後往前推以確定它所必然具有的性質。 接著，我們再考慮這樣一個問題：在所有九個方格中哪一個最為重要?顯然是正中間的那個。以下就是相應的啟發性原則： 關鍵性原則：集中註意於關鍵點常常會給你帶來力量。 能否把9放在正中間的方格?不行，因為這時我們就無法放置8瞭：無論把8放在哪裡，我們都必須將9和8加起來，但其和已經超過瞭15，同理，8、7、6這幾個數顯然也都不能放在中間的方格。1能否放在中間的方格?也不行，因為這時2必然出現在某個地方，而為瞭使相應的行或列或對角線上的數的和為15，就必須加上12，這是不可能的。同理，2、3、4這幾個數也都不能放在中間的方格。因此，5是放在中間方格的唯一選擇。 上面的推理過程體現瞭這樣一條啟發性原則： 特殊化原則：首先對特殊的情況進行研究。 在確定瞭5應放在中間方格的前提下，再來考慮1應當放在哪裡。容易想到，盡管存在8種可能性，但事實上又可歸結為這樣的兩類：或者將1放在角的位置上，或者放在四周中間的位置，從而我們隻需就圖3所示的這兩種情況進行分析就可以瞭。以下就是相關的啟發性原則： 對稱性原則：在解題時應當充分考慮和利用對稱性。 1? 1? 5 圖3 現假設把1放在左上角，這時就必須將9放在右下角，這樣才能保證相應的對角線上的數的和為15。進而再考慮2的可能位置。同樣依據對稱性，這時顯然隻需考慮如圖4的三種可能性。 1 2? 5 2? 2? 9 圖4 但由仔細的審視可以看出，這幾種可能性最終都將導致“矛盾”。從而，1必須放在其他的位置。 現假設把1放在上排中間的位置，這時就必須將9放在下排中間的位置。這時2仍有三種可能的位置(如圖5)。 2? 1 2? 5 2? 9 圖5 現假設將2放在左上角的位置，容易發現這時必須在右上角放置12；而如果將2放在中間一行最左邊的位置，則就無法放置3。從而把2放在左下角就是唯一的選擇。 這樣繼續下去，我們就可獲得最終的答案，如圖6所示。 6 1 8 7 5 3 2 9 4 圖6 上述答案的獲得是否意味著解題活動的結束?不!我們還應繼續考慮是否有其他的解題方法。 由於原來的問題要把1—9這幾個數分成這樣的“三數組”：使其和都等於15。因此，我們也可首先嘗試著把所有這樣的“三數組”都列舉出來。相應的啟發性原則為： 由前往後走：看看利用現有的對象可以得到多少種組合。 例如，以下就是一些可能的組合：(3、5、7)，(8、1、6)，(4、5、6)，(1、5、9)，(7、6、2)，(6、8、1)…… 這時是否會出現重復的情況?顯然，(8、l、6)和(6、8、1)就是這樣的情況，從而就必須去掉一個。另外，我們顯然又應防止可能的遺漏。正是基於這樣的考慮，我們就可提出如下的啟發性原則： 系統化原則：系統地去進行工作會有很大的幫助。 例如，我們可以按照遞增的次序列舉出所有“三數組”。以下就是所有可能的“三數組”：(1、5、9)，(1、6、8)，(2、4、9)，(2、5、8)，(2、6、7)，(3、4、8)，(3、5、7)，(4、5、6)。 進而，如前面所指出的，中間的方格具有特別的重要性：這一方格中的數應同時包含在4個“三數組”之中(2條對角線，1條橫行，1條豎列)。對上面所列出的各個數組進行觀察，容易發現其中隻有一個數同時出現在4個數組中，這就是5。從而，如果有解的話，中間的數就一定是5。 那麼，角上的數和四周中間位置的數又應分別是幾呢?顯然，角上的數將同時包含在3個數組之中，四周中間位置的數則將同時屬於2個數組。由實際觀察可以發現2、4、6、8這四個數在上述各個“三數組”中都出現瞭3次，1、3、7、9則都出現瞭2次。從而，如果有解的話，角上的數就必定是2、4、6、8，四周中間的數則必定是1、3、7、9。這樣，上述的問題也就可以立即獲得解決。 由於用不同的方法去求解同一問題不僅可以對已獲得的結果作出檢驗，通過相互比較我們也可在方法論上實現更大的自覺性，包括實現必要的優化。從而，我們就應當引出這樣的啟發性原則： 多樣性與優化原則：數學中往往有不止一種解題方法，我們應當善於對各種方法加以比較從而實現方法論上更大的自覺性。在筆者看來，上面的論述十分清楚地表明瞭加強學習的重要性，特別是，作為一線數學教師我們更應加強對於數學方法論(更為一般地說，就是數學思維)的學習。但是，我們又應特別強調這樣一點：就所說的學習而言，關鍵不在於“求全”，而是“求用”。這也就是說，我們不應將如何能夠無一遺漏地列舉出各種基本的數學思維或方法論原則看成這一方面的主要目標，我們也不能期望通過閱讀某些專著或聆聽某個專傢的報告(特別是，通過將其毫無遺漏地歸結為甲、乙、丙、丁等幾條)就能很好地把握數學思維或數學方法論。與單純的理論學習相比，我們應當更加重視自己的切身體會與感悟，並能結合自己的教學工作加以應用。 例如，在筆者看來，以下的實例就十分清楚地表明瞭加強數學方法論學習的重要性。 【例十三】“能否少問學生幾個‘為什麼’”《中學數學教學參考》1999年第10期】 這是源自一位優秀教師的一篇教研文章。其核心觀點是：基於培養學生創新能力(更為準確地說，是培養學生的猜想能力、想象能力和直覺能力)的考慮，由於學生(至少是一部分學生)對於某些問題能作出很好的猜測，而且，“在數學中確實有許多‘隻可意會、不可言傳’的東西，要說明為什麼有時是很困難的”。因此，“在猜想階段，在不知道結論是什麼的階段，(應當)盡量少問學生‘為什麼‘”。該文作者認為，數學教學應當熱情鼓勵對演繹過程的“跨越”，而“我們的數學卻由於教師問瞭學生太多的‘為什麼’而抑制瞭這種‘跨越’”。 筆者以為，我們在教學中當然應當註意保護學生的猜想能力和直覺能力。但是，除瞭這種“保護”的涵義(這是教學工作更為重要的一個任務，即應當清楚地認識到無論猜想能力或直覺能力都有一個後天的發展過程)以外，我們還應通過教學幫助學生去逐步掌握合理的猜想方法，並使他們的直覺不斷得到發展並趨於精致(特殊地，也隻有通過教師的引導，學生才會清楚地認識證明的必要性及其積極意義)。顯然，從這樣的角度去分析，簡單地認定在教學中應當少問學生幾個“為什麼”是不夠妥當的。我們的分析不應停留於“教師在教學中多問學生幾個‘為什麼’就可能抑制學生的猜想和直覺能力”這樣一種認識，毋寧說，這裡的關鍵仍然在於課堂提問的“適當性”。 進而，筆者以為盡管“有時(這)是很困難的”，但一個好的猜想(或者說．一個“合理”的猜想)又總是有“道理”可言的。當然，“合理”的猜想不能簡單地等同於嚴格的證明，毋寧說，這主要是指一些啟發性的原則。特別是，從教學的角度看，這些啟發性的原則更可看成集中地體現瞭用思維方法的分析去指導具體數學知識內容的教學的基本意義，這也就是指，通過“方法論的重建”我們就能較好地實現“化難為易”“化神奇為平凡”。 具體地說，或許是一個巧合，上述文章所提及的一個例子恰好就是我們在前面所提到的例十二。這篇文章的作者還提出，在面對上述問題時，有不少學生憑直覺認為應首先確定最中間的那個方格裡的數是什麼，而且他們往往能正確地猜測出應在其中填上5……但是，要想清楚地說明以下這些問題卻是十分困難的：為什麼先確定中間位置上的數?這一位置又為什麼填5？為什麼對角線上填寫6和4……然而，由上面的分析我們知道：對於這些問題事實上都可從啟發法的角度說出一定的道理，而且，這種分析對於幫助學生學會數學地思維、提高他們的創新能力也是十分有益的。 附：為瞭更好地體現“學以致用”，有興趣的讀者不妨嘗試著以數學啟發法為指導去求解下面的這個問題：“紅花映綠葉×春=葉綠映花紅，式中每個漢字分別代表0～9中的某個數字，不同的漢字代表的數字也不相同。其中每個漢字分別代表什麼數字?”(相應的解答為：21978×4=87912) 值得一提的是，這是筆者在閱讀《報刊文摘》(2007年10月31日)時遇到的一個問題。相關的報道還提及：這是三年級的一道數學題，但是為瞭解開這道數學難題，竟然有30名傢長圍著題目展開瞭攻勢，最後甚至將這一問題放到瞭網上以求網友幫忙。將這樣一個難題作為小學三年級的數學題顯然不恰當，但是，筆者在此所關註的是：作為一名數學教師，我們無疑應當保持一定的“解題胃口”，因此，面對這樣一個挑戰也就應當“知難而進”，特別是，我們是否能夠自覺地以數學啟發法為指導去解決這一問題。 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社