化歸思想及其應用

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[摘要]化歸思想是中學數學最重要的思想方法之一。本文從化歸的功能，化歸的實質，化歸的思維模式以及中學數學中化歸的基本形式，化歸的特點等內容出發，著重歸納瞭用化歸思想方法解題的三個註意點，力求比較全面地體現化歸思想在中學數學解題中的作用和地位。 在中學數學中，化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。總之，化歸在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系，相互制約的觀點看待問題，善於對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。這也是辯證唯物主義的基本觀點。 匈牙利著名數學傢羅莎·彼得在他的名著《無窮的玩藝》中，通過一個十分生動而有趣的笑話，來說明數學傢是如何用化歸的思想方法來解題的。有人提出瞭這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應當怎樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放在煤氣灶上。”提問者肯定瞭這一回答，但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，隻是水壺中已經有瞭足夠的水，那麼你又應該怎樣去做？”這時被提問者一定會大聲而有把握地回答說：“點燃煤氣，再把水壺放上去。”但是更完善的回答應該是這樣的：“隻有物理學傢才會按照剛才所說的辦法去做，而數學傢卻會回答：‘隻須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題瞭’”。 “把水倒掉”，這就是化歸，這就是數學傢常用的方法。翻開數學發展的史冊，這樣的例子不勝枚舉，著名的哥尼斯堡七橋問題便是一個精彩的例證。大數學傢歐拉解決這一問題的思維程序是： 這是化歸問題一個很好的應用，由此我們容易歸納出化歸思想方法的思維模式： 可見解題能力的強弱在於：1、有敏銳的洞察能力，才能找準目標模型，2、有較強的化歸能力，才能有效地把問題轉化為目標模型，至於運用模型的內部規律求解就比較容易瞭。 在中學數學中，常見的化歸基本形式有： 1、數與數之間的轉化。例如計算某個算式得出數值；化簡某個解析式得出結果；變形所給出的方程求解；變形所給的不等式求出解集以及函數、方程、不等式之間的互相轉化等等。 　　　　　　　　　　　 2、形與形之間的轉化。比如：利用圖象變換的知識作出函數圖象；利用分割、補形、折疊、展開，作輔助線，輔助面處理空間圖形或平面圖形，等等。包括把立體問題化歸為平面問題。 例2.如圖，正三棱錐P-ABC中，各條棱的長都是2，E是側棱PC的中點，D是側棱PB上任一點，求△ADE的最小周長。 3、數與形之間的轉化。數與形之間的轉化主要是依據函數與其圖象的關系；復數及其運算的幾何意義；以及解析幾何中曲線與方程的概念等等進行轉化。 [分析]：這是含有四個無理式的不等式證明題，難以入手，可應用化歸方法。註意到左邊的四個無理式的結構與勾股定理相類似，由此想到，設法化歸為幾何問題。這容易得到化歸一：構造如圖3的正方形，可以說不等式關系不證自明。 由此化歸的思路，進一步考慮到兩點間的距離這一關鍵，又可得到化歸二： 從第二種化歸得到的解法，我們同時得出原問題的條件： 0<a<1，0<b<1是多餘的，認識進一步深化。 4、實際問題與數學模型之間的轉化。數學模型是從現實世界中抽象出來的，是對客觀事物的某些屬性的一個近似的反映，但對解決實際問題而言，數學模型卻是深刻，正確、完善地反映著現實。因此，把所考察的實際問題，化歸為數學問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決，充分地體現瞭“用數學”的意識和能力。比如以上所舉的哥尼斯堡的七橋問題。 化歸思想方法的主要特點是它的靈活性和多樣性。一個數學問題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，其形式並非唯一，而是多種多樣。所以應用數學變換的方法去解決有關數學問題時，就沒有一個統一的模式可以遵循。因此，我們必須根據問題本身提供的信息，利用動態的思維，具體問題具體分析，去尋求有利於問題解決的化歸途徑和方法。 在中學數學中，應用化歸思想方法解題應註意三個點： 一.註意緊盯化歸目標，保證化歸的有效性、規范性 化歸作為一種思想方法，應包括化歸的對象、化歸的目標、以及化歸的方法、途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實施應有明確的對象、設計好目標、選擇好方法。而設計目標是問題的關鍵。設計化歸目標時，總是以課本中那些基礎知識、基本方法在應用上已形成固定的問題（通常稱為規范性問題）為依據，而把要解決的問題化歸為成規律問題（即問題的規范化）。化歸能不能如期完成，與化歸方法的選擇有關，同時還要考慮到化歸目標的設計與化歸方法的可行性、有效性。因此，在解題過程中，始終必須緊緊盯住化歸的目標，即始終應該考慮這樣的問題：怎樣才能達到解原問題的目的。在這個大前提下，實施的化歸才是卓有成效的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同。 [說明]解題猶如打仗，需要沖破道道難關，直奔解題目標，而盯住目標，求什麼就解什麼，有助於最終形成解題思維鏈。 二.註意轉化的等價性，保證邏輯上的正確 化歸包括等價化歸和非等價化歸，在中學數學中的化歸多為等價化歸，等價化歸要求轉化過程中的前因後果既是充分的，又是必要的，以保證轉化後的結果為原題的結果。 三、註意轉化的多樣性，設計合理的轉化方案 在轉化過程中，同一轉化目標的達到，往往可能采取多種轉化途徑和方法。因此研究設計合理、簡捷的轉化途徑是十分必要的，必須避免什麼問題都死搬硬套，造成繁難不堪。 [說明]這個例子說明設計合理轉化方案的重要性，目標的轉換與方法轉換是相輔相成又互相制約的，但其目的卻是一致的，那就是通過化歸達到以簡馭繁的最終目的。 [說明]：本題體現瞭轉化的多樣性。最省、最多、最低、最大等最值問題，在現實生活中有著廣泛的應用，在近年高考中，幾乎年年都涉及到。此類問題，一般要構造函數，用函數值域、單調性、均值不等式、二次方程的判別式等數學方法求出最值。 以上的例題，從一個側面體現化歸思想方法在中學數學解題中的重要地位。利用化歸思想解題時，轉化的途徑和方法不一定相同，但有一個共同的規律，就是在待解決的問題和已解問題之間架起一個聯系的橋梁，這就是知識之間的“關系鍵”，這就要求我們在學習數學的過程中，要不斷地構建知識結構，形成知識網絡，要領悟蘊含在數學內容之中的數學思想方法，這些都是提高數學解題能力的條件和基礎。 最後，還必須說明，化歸思想是中學數學解題的重要思想方法，但並非萬能的方法，即並不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決的。化歸思想的成功應用是以“數學發現”為前提的。因此，我們不能隻停留在化歸的分析，而必須有創新的精神，不斷地進行新的研究，在研究中獲得新方法、新理論。 主要參考文獻： (1)殷堰工 《數學解題策略精編》 上海科技教育出版社 1994.7 (2)孫瑞清、熊斌等 《全國初中數學競賽輔導》 北京大學出版社 1998.12 (3)黃文斐、徐凡等 《思維點拔與能力訓練》 遼寧大學出版社 2000.7 (4)任志鴻等 《高考熱點與冷點》 哈爾濱出版社 2001.2 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社