構造思想方法

數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-構造思想方法

http://hoksi-edu.com

構造思想方法(一)內容概要“要什麼，求什麼，給什麼，用什麼”是基本的常規解題思路和解題模式，而應用“構造思想”解題則另辟蹊徑．在解題過程中根據所給命題的題設條件或結論的結構特征，利用各種知識間的內在聯系的性質，或形式上的某種相似性，有目的地構造一個特定的數學模型，從而把原命題轉化為一個與之等價卻又具有瞭某種被賦於特定意義的命題，通過對它的討論而使原命題得到解法．近年高考十分重視對應用問題的考查，解決應用問題的關鍵環節是數學化，其所用方法即為構造數學模型．由此可見，加強對構造思想的研究和應用是具有很大的積極意義的．“構造”是一種重要而靈活的思維方式，它沒有固定的模式．要想用好它，需要有敏銳的觀察、豐富的聯想、靈活的構思、創造性的思維等能力，故有一定的難度．應用好構造思想解題的關鍵有二：一是要有明確的方向，即為什麼目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合．就構造的對象來看，常用的有構造命題、構造表達式、構造幾何體等．在構造命題中又有構造等價命題和輔助命題之別；在構造表達式中又有構造函數、構造方程、構造復數、構造數列、構造二項展開式等．對於如何解題，G·波利亞曾說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇”．用構造法解題也不例外，也必須有正確思維的引導．因此在構造法教學中，教師不僅要教會學生構造什麼；更要通過揭示構造的思維方式教會學生如何去構造．下面擬就通過一些具體問題，對構造法的各種思維方式作一些探求．(二)構造分類1．類比構造由於問題中的研究對象有著形式上、本質上的相同或相似，啟發我們構造類似的數學形式，運用新數學形式的豐富內涵達到問題的解決．求cos(x＋2y)．構造分析：②×2，化成(2y)3＋sin2y＋2a＝0比較①式中x3＋sinx與②式中(2y)3＋sin2x，這兩部分形式完全類似，由此類比啟示，我們構造更一般數學形式：單調遞增．2．歸納構造請看一類例題：【例2】 平面內有n個兩兩相交的圓，並且任三個圓不經過同一點，試問這n個圓把平面分成多少個區域？【例3】 平面上有n條直線，兩兩相交(每兩條都相交)，且沒有三條直線交於一點，問這n條直線能把平面分成多少個部分？【例4】 在空間有n個平面，其中任何兩個都不平行，任何三個都不經過同一直線，問這n個平面將空間劃分成多少部分？在這類問題中所要求的被分成部分數與元素(直線、圓、平面)個數n有關，它們之間存在著函數關系．構造出函數f(n)，問題便獲解決．但函數f(n)的構造，一般較為困難，特別像例5的問題，即使是空間想象力較強的學生要憑空想出分成的部分數f(n)來，也是勉為其難的．構造的難點是由於n的一般性，那麼我們能否應用從具體到一般的歸納思維方式來構造呢？即從構造具體的特殊的f(1)、f(2)、f(3)進而推進到一般的 f(n)呢？回答是肯定的．現對例3作構造分析：n＝1時，顯然有f(1)＝2．n＝2時，第二個圓被分成兩段弧，每段弧將第一個圓的每個區域分為兩個區域，即f(2)＝4＝2＋2，對第n－1個圓再增加一個圓，這第n個圓與原來的n－1個圓中的每一個圓都有兩個交點，一共有2(n－1)個交點，把第n個圓分為2(n－1)弧，而每段弧將原來的一個區域分為兩個區域，一共增加瞭2(n－1)個區域，即f(n)＝f(n－1)＝2(n－1)，因此有：f(2)＝f(1)＋2×1，f(3)＝f(2)＋2×2，f(4)＝f(3)＋2×3，……，f(n)＝f(n－1)＋2×(n－1)．以上各式相加得＝n2－n＋2．3．逆向構造數學內部的矛盾常表現為形式的對立、關系的對立、程度的對立．“一切矛盾著的東西，互相聯系著”而且“在一定條件之下互相轉化”，數學中的對立事物也是這樣．這正是逆向思維立足的對立統一規律．所謂逆向構造就是按照逆向思維方式，向原有數學形式的相反方向去探求，通過構造(形式上、關系上或程度上)對立的數學形式來解決問題．【例5】 如果在一萬張有獎儲蓄的獎券中隻有一、二、三等獎，其中一個一等獎，五個二等獎，十個三等獎，買一張獎券，試問中獎的概率是多少？構造分析：從正面計算中獎概率較繁，可構造對立事件即不中獎事件，能使問題得到簡單解法．4．聯想構造聯想是由一事物想及到另一事物的思維方式和過程，這種想及通常是事物的形式、結構、范圍、關系這些因素作用的結果．特點活潑而流暢．由聯想而引發構造是構造思維的一種常見方式．構造分析：由已知條件cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2想及高中《立體幾何》P61第6題“長方體的一條對角線與各個面所成的角分別是α、β、γ，求證：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2”引發構造幾何模型，構造長方體ABCD－A′B′C′D′(如圖)．設長方體長、寬、高分別為a，b，c，一條對角線與各個面所成的角分別是α、β、γ，易知5．直覺構造【例7】 求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°．解 設A＝sin10°·sin30°·sin50°·sin70°，構造對偶式B＝cos10°·cos30°·cos50°·cos70°註 對於式子B＝cos10°·cos30°·cos50°·cos70°， 我們很難說清楚構造它的思維脈絡，應該說這是由三角知識、解題經驗和潛在的審美意識綜合作用而頓生的突發想法，是一種直覺思維．這種創造性思維的構造，我們稱為直覺構造．構造法解題是一種富有創造性的思維活動，一種數學形式的構造絕不是單一思維方式的產物，而是多種思維方式交叉、聯系、融匯在一起共同作用的結果．上面所列舉的各類思維構造，僅是就構造思維的主體特征來區分的，旨在方便於構造法思維方式的揭示．(三)例題精析分析 本題證法頗多，應用構造思想來解則更有情趣、更見功力．【例9】 已知實數x，y，z滿足x＝6－y，z2＝xy－9，求證：x＝y分析 x＋y，xy共存的條件特征常使我們聯想到一元二次方程根與系數的關系，構造的方向亦就由此可定．證 由題設可知x， y是關於t的實系數一元二次方程t2－6t＋(z2＋9)＝0的兩個實數．故△＝－4z2＝0，從而方程的兩根相等，即x＝y．【例10】 對於一切大於1的自然數n，分析 本題一般可用數學歸納法證明，亦可將結論轉化一下後構造數列來證．證 作數列{an}，使其通項為∴an＋1＞an，∴當n＞1時，an≥a2＞1，即得分析 從組合數的和式聯想到二項展開式的系數，從組合數的間隔跳躍及符合規律與in的周期性變化的密切聯系，可知構造復數輔助證明似為可行之計構造復數式(1＋i)n分析 由題設，點(a，b)在線段 AB：y＝－x＋1(0≤x≤1)上，______．分析 局限於三角函數式這一角度來思考求解，甚難下手！抓住此式與斜率公式，圓的參數方程的關系，通過構造來求解是明智的選擇．(1，－4)的連線的斜率，其最值為過點(1，－4)所作圓的切線的斜率．(1＋k2)x2＋(8k2＋2k)x＋(16k2＋8k－1)＝0分析 本題一般可采用構造函數式，用判別式法求值域的方法來證明，這裡再介紹一種較獨特的方法：構造定比分點，利用定比比值的符號來證明之．分析 這是一道純粹的三角命題，可用三角方法證明之．若能思路開闊一點，由題中式子的形狀而聯想到橢圓標準方程，可找到構造橢圓輔助證明的新途徑又由(cos2B，sin2B)也滿足C的方程，可知點N(cos2B，sin2B)也在橢圓C上．∵(cos2A，sin2A)滿足x＋y＝1，∴點M也在此切線上．由切線上切點的惟一性可知，點M與點N重合，於是cos2A＝cos2B，sin2A＝sin2B從上述例題的求解可以充分看出，應用構造思想解題不是拘泥於常規思路和一般解法，而是著眼於透過題設或結論的表面形式，從本質上把它納入一個特定的軌道，而用相應的特定的方法來加以處理的，在這方面它應屬於求異思維的范疇；另外，對於一些不同的命題甚至是不同類的命題，卻可以通過它們之間的一些相似點去尋求統一的解題模式，這裡又有著求同思維的因素．掌握好構造思想和構造法，將對提高我們的思維能力有很大的好處．雖然開始時會有一定的難度，但隻要自覺地堅持進行由淺入深的系統訓練，最終必有可喜的收獲．至於構造數學模型求解應用問題，則是對構造提出瞭更高層次的要求，除瞭要求能對數學各分支的知識進行本質上的溝通外，還須有對其他學科知識進行綜合把握和綜合應用的能力．如何解決好這一類問題將是一個大課題，不在本文討論瞭．本文中所探討使用的各種具體的構造方法和構造模式則是解決應用問題的基礎之一，有瞭這個基礎，對於再去研究應用問題是大有裨益的．</PGN0471.TXT/PGN> 上一篇范文： 數形結合的思想方法下一篇范文： 通項公式an與前n項和公式Sn的關系． 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社