課外園地·典型例題

數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-課外園地·典型例題

http://hoksi-edu.com

課外園地·典型例題 求{an}的通項公式． 解：由(2)an+1-an=2n ∴ an-an-1＝2(n-1) an-1-an-2＝2(n-2) an-2-an-3＝2(n-3) …… a3-a2＝2×2 a2-a1＝2×1 以上n-1個等式相加得an-a1＝ 2[1+2+3+…+(n-1)]＝n(n-1) ∴ an= n(n-1)+a1＝n2-n+1 ∴ {an}通式為an＝n2-n+1(n∈N) 【說明】 上述分法叫做“迭加法”．在給出遞推關系求數列通項公式時，經常用． (1)求{an}的通項公式； 解：(1)nan+1＝2(a1+a2+…+an) ＝2(a1+a2+…+an-1)+2an ＝(n-1)an+2an＝(n+1)an ∴{an}通項公式為an＝n(n∈N) 【說明】 搞清楚關系式中“下標”間的對應規律，並能靈活應用是解題的關鍵． 【分析】 數列各項的分子成等差，分母成等比，從這一特征入手． ① ② 【說明】 解題方法是課本中等比數列求和公式的推導方法． 解：當 n=1時 當n≥2(n∈N)時 =n(n-1) ∵當 n≥2時 【說明】 先從前n項和入手求出通項公式，再從通項入手，根據特征采用“裂項”的方法． 正切公式，再進一步尋求數列的規律． ∴ an+1=an+15° 即{an}是公差為15°的等差數列 ∴an+12＝an+12×15°=180°+an． ∴tgan+12=tg(180°+an)=tgan ∴xn+12=xn ∴x1993-x193=x1-x1=0 【說明】 尋找變化周期是解此類題目的思路． 【例6】 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為______． 解：設b2＝S2m-Sm＝100-30＝70 則b2-Sm=70-30=40 b3=S3m-S2m＝70+40=110 S3m=S2m+b3＝100+110＝210 ∴前3m項和為210． 【說明】 掌握一些等差數列的補充性質，解題方便迅捷． 【例7】 設{an}是G．P．，a4·a7＝-512，a3+a8＝124，且公比q為整數，則a10等於______． 【分析】 運用等比數列的性質，減少變量個數—a3·a8＝a4·a7=-512 解：∵{an}是 G． P． ∴a4·a7＝a3·a8＝-512． 又 a3+a8＝124 ∴a10=a8·q2＝128·(-2)2＝512． ∴ a10＝512． 證明：設等差數列{an}的公差為d 由 an+1=a1+nd 【說明】 運用等差數列性質：an+1＝a1+nd解題，對簡化解題過程有很大幫助． ＝(n-1)a1an 要註意分為d＝0或d≠0兩種情況討論 當d＝0時，由(1)得 a1＝a2＝a3＝…＝an 於是a1a2+a2a3+…+an-1an＝(n-1)a12=(n-1)a1an 當d≠0時，由(1)式得 ∴a1a2+a2a3+…+an-1an ∴a1a2+a2a3+…+an-1an＝(n-1)a1an 【說明】 本題與例3類似，均在解題過程中運用瞭拆項相消的方法．【例10】 已知：等比數列{an}中，公比q≠1，a1＝a，試求數列中前n項所有不同兩項乘積之和． 解：由已知：數列{an2}是首項為a2，公比為q2的等比數列． 【說明】 善於分析，富於聯想，是尋求解題方法的前提． 【例11】 證明：對於任意0≤α≤1與任意滿足條件1≥x1≥x2≥…≥xn＞0的實數x1，x2…xn有(2+x1+x2+…+xn)α≤1+1α-1x1α+2α-1x2α+…+nα-1xnα 【分析】 觀察題目，這道題是關於自然數n的命題，考慮用數學歸納法． 證明：1°n＝1時(1+x1)α≤1+x1≤1+x1α，命題成立 2°假設n＝k時命題成立，即(1+x1+x2+…+xk)α≤1+1α-1x1α十2α-1x2α+…+kα-1xkα 則n＝k+1時 (1+x1+x2+…+xk+1)α ∴n=k+1時命題成立 ∴對一切正整數n命題均成立 【說明】 此題是使用數學歸納法最基本的形式：先證起點，再利用歸納假設證明遞歸關系，即第一數學歸納法． 【例12】 求證：如果x1和x2是方程x2-6x+1＝0的根，那麼x1n+x2n對任意n∈N都是整數． 證明：1°當n=1時x1+x2＝6，6∈Z 當n=2時 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2＝62-2×1＝34，34∈Z 令S1＝x1+x2，S2＝x12+x22，…，Sn=x1n+x2n 2°設n≤k時，Sn是整數 則n＝k+1時 ∴Sk+1=6Sk-Sk-1 由假設Sk∈Z，Sk-1∈Z ∴Sk+1∈Z ∴當n＝k+1時命題成立． ∴對任何 n∈N， Sn＝x1n+x2n都是整數． 【說明】 本題在假設時，加強瞭條件，設當n≤k時，命題均成立，這就是第二數學歸納法． 【例13】 證明：對任意自然數n，方程x2+y2＝zn都有正整數解 證明：1°n＝1時，任取正整數x0， y0，並取z0=x02+y02，則x0，y0，z0即為方程的一組解，n＝2時，取一組勾股數即可，如x＝3，y＝4，z＝5 由上，n＝1，2時命題成立． 2°假設 n＝k時命題成立，x0，y0，z0是方程 x2+y2＝ zk的一組正整數解．取x1＝x0z0，y1=y0z0，z1＝z0，則有x12+y12=z02(x02+y02)=z0K+2＝z1k+2 ∴x1，y1，z1是方程x2+y2＝zk+2的一組正整數解，即n＝k+2時命題成立 ∴對於一切正整數n，命題成立． 【說明】 通常，數學歸納法都是由P(k)成立(或由P(n)，n≤k成立)推出P(k+1)成立，每次“步長”為1，但有些命題隻能由 P(k)推出 P(k+l)(l≥2)成立，此時隻需在證起點時驗證l個起點成立即可． 對一切n∈N，都有an＞1 【分析】 a1＝1+a，顯然命題成立，若設ak＞1，則很難推出ak+1＞1．要推出ak+1＞1，必須設法知道ak的上限，於是就要知道a1的上 ∴命題成立 ＝a+1 ∴n＝k+1時，命題成立 【說明】 在運用數學歸納法時，為使第二步便於推證，或為瞭能利用原題未明確給出的某些條件，而要去設計一個比原題結論更強的命題，加強瞭假設條件，能更方便的解決瞭問題． 正整數，且p≥2，q≥1) 【分析】 這是關於p、q兩個正整數的命題，如果對每個變量都進行歸納，則太過於麻煩，因此可考慮僅對其中一個歸納，使另一變量具有任意性． ∴當 p＝k+1時，命題成立 上一篇范文： 第七屆日本數學奧林匹克競賽試題下一篇范文： 函數·易錯點評析 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社