數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-圖形計算器在函數學習中的三大優勢 |
提要 函數是中學數學極為重要的內容，貫穿高中數學的始終．學好函數知識對高中數學的學習至關重要．圖形計算器是數學學習的有力工具，在函數學習中有很重要的作用，可以很好地呈現函數知識的形成過程，展現函數知識的內涵，有利於學生加深對函數知識的理解，挖掘函數知識蘊含的重要思想方法，領悟數學的本質；有利於學生掌握函數知識的重點，突破函數知識的難點，構建完整的函數知識體系；有利於學生用函數知識解決實際應用問題，逐步培養科學研究的態度和意識． 主題詞 圖形計算器 函數 函數是中學數學極為重要的內容，貫穿高中數學的始終．數、式、方程、不等式、數列、極限、導數與微分等內容都是以函數為中心，同時滲透到三角、立體幾何、解析幾何，更有內容豐富的函數實際應用性問題，跨學科的綜合應用是函數的鮮明特征．所以，學好函數知識是學好整個高中數學的關鍵．但由於函數是學生所接觸到的第一個研究變數之間關系的數學基本概念，從而學生無法很好的基於自身的知識背景來建構這一抽象的概念，並得到深刻的理解．函數圖象是函數關系的一種直觀、形象的表示，函數圖象對函數的概念與性質的理解起著至關重要的作用，但由於作圖很麻煩、不方便，甚至不可能作出，從而學生很難達到對函數知識的深刻理解．圖形計算器的出現可以很好地學習函數知識． 一、利用圖形計算器有利於加深對函數知識的理解，挖掘函數知識蘊含的重要思想方法，領悟數學的本質 教材的編寫有其嚴密的邏輯體系．函數知識的編寫遵循著由簡單到復雜，由特殊到一般再到特殊的認知規律．在傳統教學中限於技術手段，往往不能很好地呈現函數知識的形成過程，展現函數知識的內涵，挖掘函數知識蘊含的重要思想方法，領悟數學的本質，雖然學生通過一段時間的學習能解決一些問題，但對函數知識的認識往往是一知半解、殘缺不全．現在利用圖形計算器等信息技術手段，由“靜”到“動”，“微觀”到“宏觀”地展現知識的形成過程，有利於學生構建完整的知識體系．如指數函數的學習中，隻用“描點法”作出y=2x,兩個圖象，然後直接給出指數函數y=ax的性質．這有些“強加於人”的感覺，例如，學生對為什麼要把底數a分為0＜a＜1和a＞1兩種情況加以討論不一定理解，學習過程比較被動．而引導學生用圖形計算器完成函數y=2x的對應值表，作出圖象，並在信息技術環境下動態觀察圖象，形成對指數函數性質的感性認識，再讓學生自由選擇a的值，並用圖形計算器在同一坐標系內作圖象．在此過程中，學生可清楚地看到底數a如何影響並決定著函數y=ax的性質．由於函數的圖象隨著0＜a＜1和a＞1自然聚集（如圖1），學生可以清楚地看到a=1這條分界線，而函數的定義域、值域、單調性、特殊點（0,1）等更是一目瞭然．然後再通過a的連續變化來演示函數圖象的變化規律，從而讓學生更直觀、更清楚地“看到”函數y = ax的性質．這樣呈現內容，對學生發現和認識“為什麼以a=1為分界點” “過點（0，1）為什麼要作為性質之一”“為什麼不討論a=0和a<0的情形”（如圖2，圖3）等，都營造瞭很好的環境，使教學的開放性、探索式學習等成為可能．顯然，如果沒有信息技術，上述過程很難實現．
利用信息技術構建的高中數學教學改變傳統教學中學生圍著老師轉的教學模式，學生從以往的聽眾變成瞭積極的參與者，真正成為課堂的主體．把原來的數學學習過程轉變成為自己學習數學的過程，使學生體會到知識產生的過程，從而對數學有更深刻的認識，產生更深刻的求知欲，也進一步激發瞭學生學習數學的積極性． 二、 利用圖形計算器有利於掌握函數知識的重點，突破函數知識的難點，構建完整的函數知識體系 函數的概念、函數的性質、基本初等函數是函數知識的重點，是函數知識的支撐，這些內容的理解掌握，對函數知識的學習至關重要．函數的概念、反函數、復合函數是函數知識的難點，對難點知識的突破，有利於構建完整的知識體系．在傳統教學中，對重點知識的教學往往不直觀、不具體，不是水到渠成，總有強加於人的感覺，揭示不深刻，不利於知識的理解掌握；對難點知識的教學往往說不清道不明，蜻蜓點水，淺嘗輒止，不能有效突破．利用圖形計算器可以直觀、形象地揭示知識間的聯系，有利於掌握重點突破難點． 以往研究復合函數的性質，特別是復合函數單調性的判斷，總是直接給出結論“同則增，異則減”，學生隻知其然，而不知其所以然，往往疑惑不解．現在利用圖形計算器研究復合函數，設，，在圖形計算器上同時顯示三個坐標系（如圖4），畫出(x，t)、(t，y)、(x，y)的對應點，認清這三組變量的對應關系． 教師指定或由學生自選簡單的復合函數進行作圖和研究． 例如：y =cos[sin(x)]， 設t=sin(x)，y = cos(t),則如圖5． 學生可以研究：y =cos[sin(x)]的 1．定義域、值域； 2．單調性、奇偶性； 3．最大、最小值等等． 還可以用圖形計算器直接作出圖像進行檢驗（如圖6）．使復合函數問題變得直觀、易懂．對復合函數的有關知識從疑惑不解到理解洞悉，由不確定到確定，由含糊到明確． 利用信息技術構建的高中數學為學生營造瞭一個“探索數學”，“體驗數學”的環境，大傢可以做實驗，互相討論，積極思維，互相協作，大膽猜想，踴躍發表自己的觀點，參與感比較強，在實驗中學習，數學課也不枯燥瞭．信息技術給我們帶來瞭生動形象的數學，以其圖像的快捷性和直觀性為進一步探索數學提供瞭必要的條件．有利於逐步培養學生科學研究的態度和意識． 三、利用圖形計算器有利於解決函數型實際應用問題，逐步培養科學研究的態度和意識 利用數學知識來解決實際問題的一般方法，是把實際問題加以抽象概括，得出關於實際問題的數學描述，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題．其基本步驟是: 實際應用問題的解決關鍵在於數學模型的建立，函數模型的建立步驟是：確定變量，收集數據；根據收集的數據畫出散點圖；根據散點圖選擇恰當的函數；建立函數關系式．也就是對變量進行回歸分析，得出回歸方程，並進行相關性檢驗．這一過程需要大量的運算，甚至無法用紙和筆來解決，使我們對問題的解決變得厭倦甚至放棄．而利用圖形計算器的函數擬合功能，使得對一些采集的實驗數據進行分析，建立適當的數學模型變得輕松、容易．如： 以下是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值表：
身高cm 60 70 80 90 100 110 體重kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高cm 120 130 140 150 160 170 體重kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1）根據上表中各組對應的數據，能否找到一種函數，使它比較近似的反應該地區未成年男性體重y關於身高x的函數關系，試寫出這個函數關系式． (2)若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低於0.8為偏瘦，那麼該地區某校一男生身高175cm，體重78kg，他的體重是否正常？ 這個問題的解決，隻要在圖形計算器中輸入數據畫出散點圖，根據散點圖引導學生用學過的函數y=ax+b, y=alnx+b, y=a bx進行擬合,學生發現用y=a bx擬合較好（如圖7，圖8）．
追問：為什麼不可以用y=ax2+bx+c來擬合呢？這些點的走向趨勢也很符合二次函數圖像的走勢啊？ 老師和同學們一起共同進行研究，用y=ax2+bx+c來擬合，利用圖形計算器算得a =0.0037 ，b=-0.4310,c=19.6973，所以，該地區未成年男性體重關於身高的函數關系式可以選為y2(x) = 0.0037x2 – 0.4310x + 19.6973． 作出y1(x)和y2(x)的圖像(如圖9)，從擬合的圖像上看，兩者都擬合得較好，但究竟哪一種函數要更接近實際一些呢？ 圖9 師生、生生展開熱烈的討論，最後認為，可以利用y1(x)和y2(x)的函數值與實際值C2的差的絕對值來比較兩者接近程度，利用圖形計算器可以方便地算出|y1(c1)-c2|的對應數值(C3列的值) ，|y2(c1)-c2|的對應數值(C4列的值)(如圖10) 圖10 顯然，C3列的誤差比C4列的誤差要小，由此可見，函數y1(x)的擬合效果要好，所以，函數解析式為y1(x) = 2.0041.020x，能較好地反映該地區未成年男性體重與身高的關系．利用所得函數關系式容易判斷問題（2）中的男生體型偏胖． 傳統應用題由於受信息技術條件的約束，背景不豐富，遠離時代，和學生的實際結合得不緊密，大量數據需要人為加工，題目還常常有明顯的解題途徑的暗示（如上例的教材解法），所以學生難以通過解這些題，提高自己數學建模的能力，領會問題解決的思想．由於有圖形計算器和計算機這些信息技術工具，就使得運算繁雜、作圖困難、數據處理難度大的問題，特別是一些具有真實背景的實際問題的解決成為可能．借助圖形計算器，將實驗、嘗試、模擬、猜想、檢驗、調控、運算、推理、證明等作為數學學習的重要方式，更加重視學生的親身實踐活動，促進高層次數學思維，提高數學思考力度．讓學生“看到”他們以往隻能想象的數學，“做”他們以往不可能做的數學，使學生感受到實實在在的數學． 總之，圖形計算器是數學學習的有力工具，恰當地使用圖形計算器，可以有效地學習函數知識，進而學好高中數學知識． |
2015年4月22日星期三
圖形計算器在函數學習中的三大優勢
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