等比數列前n項和的公式及其推導

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等比數列前n項和的公式及其推導 教學目標1．掌握求等比數列前n項和的公式及其推導過程，培養學生創造性的思維．2．初步掌握公式的應用，培養學生的解題能力．教學重點與難點等比數列前n項和公式的推導教學過程設計（復習一下舊知識，為下面推導出前n項和公式作準備，並提供瞭類比）師：今天我們研究已知等比數列的首項a1，公比q，項數n（或n項an），求它的前n項和Sn的計算公式．（給足夠的時間鼓勵學生對問題自由思考，積極解決）生：能不能像推導等比數列通項公式的方法，列出一些等式，然後迭乘或迭加？師：可以試試．生：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，……an-1=an-2q，an=an-1q．將上面n個等式的等號兩邊分別相加，得a1+a2+a3+…+an-1+an=a1q+a2q+…+an-2q+an-1q等號左邊就是Sn，右邊是……（誘導一下）師：可將右邊適當變形，再觀察它與Sn的關系，註意上式對n≥2時成立．生：Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1）師：等號右邊括號裡是數列{an}若幹項的和，可以用什麼符號來表示？與Sn的關系又是什麼？（及時點拔，可加深學生對符號Sn的理解，最後一個問題也是推導公式的關鍵一步）生：等號右邊的括號裡就是Sn-1，上面等式可以寫成Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）．以下隻需解出Sn即可．（“方程”在中學代數課程裡占有重要的地位，方程思想是應用十分廣泛的一種數學思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問題得到解決）師：（糾錯）能否在等號兩端同除（1-q）？生：應分q=1和q≠1討論．（分類討論也是重要的數學思想方法）師：因為S1=a1，所以此式對n=1也成立．（幫助學生完善證明過程）生：當q=1時，數列{an}為常數列a1，a1，…，Sn=na1（及時歸納小結）師：我們根據等比數列的定義，用迭加的方法推導出瞭等比數列{an}的前n項和公式（板書）如果已知a1，n，q，則當q≠1時，Sn的公式是什麼？（學生演算、口答，教師板書）生：將an=a1qn-1代入，得生：老師，我還有一種證法．師：你是如何證明的？（學生口述，教師板書．）當q=1時，Sn=na1．師：非常好！這位同學圍繞等比數列的基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比定理，導出瞭公式．（公式雖已導出，還可以再引導學生把思維發散開）師：還有沒有其他的推導方法？（板書）Sn=a1+a2+…+an-1+an=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1．觀察等號右端，若每一項乘以公比q，就得到它後面相鄰的一項，能否設法消去一些項？同學們可以討論一下．生：（學生口述，教師板書）在等號兩邊乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn．將兩式的兩端分別相減，就可消去這些共同項，（1-q）Sn=a1-a1qn．得到前面的求和公式．師：這種求和方法也很重要，由於設法消去瞭一些中間項，使帶有省略號的含任意有限項的式子變成僅含有幾項的式子，從而使問題得到解決．（用這種方法求和，對培養學生的觀察、分析能力是有好處的）這種求和方法稱為“錯位相減法”，是研究數列求和的一個重要方法．（板書）（這種求和的思路在解決某些求和問題時經常用到，應使學生掌握）（以上三種推導方法，可以看出利用“發散思維”進行教學，引導學生從多條途徑，用多種方法推導公式，從而培養學生的創造性思維）師：在求等比數列（q≠1）的前n項和時，如果已知首項a1，公師：與等差數列相似，等比數列的前n項和公式（1）和（2），及通項公式an=a1qn-1，其中涉及a1，q，n，an和Sn這五個量，而它們又通過通項公式及前n項和的公式聯系著，因此隻要已知其中的任何三個量，即可得到以其餘兩個量為未知數的方程組，從而可以求出其餘兩個量．（類比的方法是認識事物的重要方法，提示學生在學習過程中，註意用類比的方法記憶知識、解決問題）師：下面舉例說明公式（1）、（2）的一些應用．（利用投影片投影出例題）例1 口答下列各題：（2）已知等比數列{an}中，a1=2，q=3．求S3；（3）請利用第（2）題的數據，自己編題，改為a1或求q，並求解．（自己擬題能鞏固和深化所學的知識）生：（口答）（3）生甲：已知：q=3，S3=26．求a1．生乙：已知：a1=2，S3=26．求q．師：這一題是利用Sn求q，為什麼可以用公式（2）？生：因為a1=2，若q=1，則S3=6，而已知S3=26，故q≠1．所以可以選用公式（2）．（這一追問為下一題做瞭鋪墊）例2 已知{an}為等比數列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．師：要求S3n，需知a1，q，而已知條件為Sn和S2n．能否進一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？以下再化簡即可．師：這位同學處理問題很巧妙．他沒有分別求得a1與q的值，而改生乙：我認為第①式就有問題，他附加瞭條件q≠1．而對q=1情況沒有考慮．師：對！使用等比數列前n項和公式時，要特別註意適用條件，即q=1時，Sn=na1；（含字母已知數的等比數列求和題目，學生常忽略q=1情況，要引起足夠重視，以培養學生思維的嚴密性）（學生演算習題，教師投影出正確答案）解：設數列的公比為q．若q=1（此時數列為常數列），則Sn=na1=a，若q≠1（即2a≠b），由已知 ① ② ③師：（小結）這節課我們從已有的知識出發，用多種方法（迭加法、運用等比性質、錯位相減法）推導出瞭等比數列的前n項和公式，並在應用中加深瞭對公式的認識．如已知a1，n，q，則選擇已知a1，q，an，則選擇對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況，不能附加從a1，q，n，an，Sn五個量中，知道任意三個，可求其餘兩個．佈置作業1．在等比數列{an}中，a1=1，an=-512，Sn=-341，求公比q和項數n．（q=-2，n=10）2．在等比數列{an}中，（1）已知n，q，an，求a1與Sn；（2）已知n，q，Sn．求a1與an．（（1）a1=anq1-n．若q=1，Sn=na；3．求和： ① ②①-②得（2）Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn， ①xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1． ②①-②得（1-x）Sn=x+2（x2+x3+…+xn）-（2n-1）xn+1．則當x≠1時，當x=1時，Sn=n2）課堂教學設計說明本課知識與前面的知識——等差數列求和公式，教學內容聯系緊密，隻要學生掌握好舊知識，再經過分析、綜合、歸納、推理，就能導出所學內容．采用這種教學方法，學生學習積極性高，因而教學效率高、效果好，同時，對完善學生的認知過程，提高他們分析問題、解決問題的能力大有裨益．本節課教學過程可概括如下：（1）復習舊知識，引出新課題；（2）推導公式，弄清條件，認識新知識；（3）運用公式，鞏固新知識；（4）小結，佈置作業．對全課作瞭如此設計，主要基於以下幾點：（1）對公式的教學，要充分揭示公式之間的內在聯系，掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導出方法，理解公式的成立條件．也就是讓學生對本課要學習的新知識有一個清晰的、完整的認識、忽視公式的推導和條件，直接記憶公式的結論是降低教學要求，違背教學規律的做法．（2）本課采用啟發引導，講練結合的教學方法，既發揮瞭教師的主導作用，又體現瞭學生的主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己的一系列思維活動來完成，課堂上教師的作用主要在於給學生設計好符合他們學習心理過程的學習程序，通過設疑、暗示、課堂討論、自編習題等多種教學形式和方法，啟發誘導學生，激發學生的學習興趣，使他們自始至終處於一種積極進取的興奮狀態，使他們通過在教師引導下的獨立活動，自然而有效地獲取知識、技能和技巧．同時在數學教學的實踐活動中形成、發展學生的數學能力． 上一篇范文： 函數·易錯點評析下一篇范文： 領略“遞推”的思想方法 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社