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希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關 因此，我們從勾股定理談起 勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一 天文學傢開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一 它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一 在我國，最早的一部天文數學著作《周髀算經》中就已有瞭關於這一定理的初步認識 不過，在我國對於勾股定理的證明卻是較遲的事情 一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明 在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯 因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理” 並且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明後欣喜若狂，而殺牛百隻以示慶賀 因此這一定理還又獲得瞭一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理” 畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學傢與哲學傢 他曾創立瞭一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派 由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的哲學基石 而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰 然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成瞭畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人” 畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮瞭一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而隻能用一個新數來表示 希帕索斯的發現導致瞭數學史上第一個無理數√2的誕生 小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起瞭一場巨大風暴 它直接動搖瞭畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌 實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊 對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊 這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數 這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻瞭！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻瞭 更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法 這就在當時直接導致瞭人們認識上的危機，從而導致瞭西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機” 二百年後，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論 他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾裡德《幾何原本》一書第五篇中 歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一“邏輯上的醜聞”，並保留住與之相關的一些結論，從而解決瞭由無理數出現而引起的數學危機 但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的 這就生硬地把數和量肢解開來 在這種解決方案下，對無理數的使用隻有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的 或者說無理數隻被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數 一直到18世紀，當數學傢證明瞭基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來 到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來後，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正紮下瞭根 無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決瞭第一次數學危機 上一篇范文： 解簡易方程下一篇范文： 納什博弈論的原理與應用 分享到： |
2013年8月13日星期二
第一次數學危機
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