利用信息技術研究函數圖象的變換

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提要 函數圖象的變換是中學數學的重點內容，因其抽象性，學生理解起來有相當的困難，所以，它也是學習中的難點內容．傳統教學中的紙筆畫圖方式難以有效地解決這個難點問題．如果在教學中能充分利用信息技術形象直觀、便於探索研究的優勢，就可以有效地發揮學生的學習主體性，通過他們的動手操作、實驗和探索，讓他們較好地理解和掌握這部分內容，從而提高課堂教學和學習的效率． 主題詞 函數圖象 圖象變換 信息技術 函數圖象的變換是函數教學中的重點內容，也是難點內容．但因為函數的抽象性，學生對此理解起來比較困難，即使學生能記住教師歸納出來的規律並能簡單應用，但他們還是對此感到模糊不清．傳統的紙筆畫圖方式因其靜態的缺陷，難以對學生的理解和掌握起到真正的幫助，而信息技術能使數學“視覺化”的形象直觀的特點和便於探索研究的優勢正好彌補瞭傳統方式的缺陷．筆者在教學《函數》一章時，利用專題講座的形式，借助《幾何畫板》，引導學生對此進行瞭有益的嘗試和探索，收到瞭較好的效果．以下就是筆者的教學案例及其分析． 一、平移變換 筆者課前先用《幾何畫板》畫出指數函數及、的圖象，設置動畫按扭（課前制作好課件，主要是想避免因學生對技術使用不熟練而影響上課的時間）．上課時，由學生自己操作，動態演示當、的值發生變化時，函數和的圖象的變化情況，並與函數的圖象進行對照比較，初步得出圖象平移的變化規律．然後再由師生共同考察相關圖象上的對應點P、Q的坐標及變化情況，具體分析平移的距離（圖1），從而歸納概括出圖象平移的規律． 圖1 平移規律：（1）f (x) → f (x+m) ： m>0時，向左平移m個單位；m<0時，向右平移∣m∣個單位． （2）f(x) → f(x)+n ： n>0時，向上平移n個單位；n<0時，向下平移∣n∣個單位． 思考：對於二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，參數a、b、c的取值變化對函數的圖象有什麼影響？ 學生回顧以前所學過的有關知識並回答後，教師利用課件直觀形象地演示函數圖象隨參數a、b、c的變化而變化的情況（圖2），既復習瞭有關知識，又鞏固瞭平移變換的知識． （學生觀察圖1後能很快發現平移方向與 、 的取值的關系．但對點P、Q的坐標變化情況還是費瞭一點周折，主要是學生難於找到平移後點P、Q的對應點．在教師的指導下，絕大部分學生都能完成操作並發現規律．從後面的練習1、2的完成情況來看，學生基本上都能正確解答這兩題，這說明學生掌握得是比較好的．這與不用技術時反復強調和練習後仍有部分學生模糊不清形成鮮明的對比．） 圖2 二、對稱變換 （1）利用《幾何畫板》的函數作圖功能，讓學生隨意選擇一個函數y=f(x)作出其圖象，並依次作出函數y =-f(x)、y =f (-x)、y =-f (-x) （圖3）、y =︱f (x)︱、y =f (︱x︱) （圖4）的圖象，再對照函數y=f (x)的圖象觀察分析．然後改變函數，同樣處理，從而歸納概括出相應的對稱變換規律． 圖3 圖4 變換規律：① y = -f (x)的圖象與y = f (x)的圖象關於x軸對稱； ② y = f (-x)的圖象與y = f (x)的圖象關於y軸對稱； ③ y = -f (-x)的圖象與y = f (x)的圖象關於原點對稱；（回顧初中學過的點的對稱 情況，此結論不難理解和解釋） ④ y =︱f (x)︱的圖象：保留y = f (x)的圖象在x軸上及其上方的部分，並將x軸 下方的部分關於x軸對稱到x軸上方（代數分析：因為︱f (x)︱非負，故函數圖象總位於x軸上及其上方）； ⑤ y =f (︱x︱) 的圖象: 保留y = f (x)的圖象在y軸右邊的部分，並將y軸右邊的部分關於y軸對稱到y軸左邊（代數分析：因為函數y =f(︱x︱)是偶函數，其圖象關於y軸對稱）． （學生能很快地畫出函數圖象，並觀察出變換規律，但對圖4中兩個圖象的變換規律的歸納敘述還不夠清楚和準確．經過學生的討論和交流，在教師的引導下，最終歸納概括出上面的規律，然後對其作出代數分析．這說明，技術的使用可以幫助學生理解和掌握相關知識內容，但是，相關的數學表達等方面的能力的訓練，還有待於在日常的教學活動中逐漸進行．） （2）讓學生隨意畫出幾個指數函數的圖象，觀察它們在第一象限內的圖象特征，得出規律：當底數 越大時，函數圖象就越靠近y軸（即圖象右端在上方）；當底數越小時，函數圖象就越靠近x軸（即圖象右端在下方）．（圖5，相應顏色的圖象對應於相應顏色的函數，圖6與此相同） 然後，畫出相應的對數函數的圖象（圖6中的虛線圖象）．在指數函數的圖象上各任取一點，作出它們關於直線y=x的對稱點，則對稱點在相應的對數函數的圖象上．追蹤對稱點的軌跡可知，它即是相應的對數函數的圖象．通過這個操作過程，復習瞭指數函數與對數函數互為反函數以及互為反函數的函數圖象關於直線y=x對稱的相關知識． （學生對於畫圖和觀察發現規律感到問題不大，但因學習基礎的原因，他們對圖6中對稱點的軌跡與相應的對數函數圖象之間的關系在理解上還是感到有些困難．教師先讓他們回顧函數圖象的描點作圖法，再引導他們明確函數圖象即是滿足某種條件的點的集合，從運動變化的觀點來看，就是滿足某種條件的點運動以後留下的痕跡—軌跡．這樣一來，學生就感到釋然瞭．） 圖5 圖6 三、練習 (1) 畫出函數的草圖． (2) 求出函數的圖象的對稱中心及函數的單調區間． （關鍵是引導學生將函數式進行“分子常數化”的變形：，從而找到與它有關系反比例函數．對此，學生感到困難．引導學生變形後，通過討論，大部分學生均能順利地分兩步解答此題．） (3) 如何由y = lgx的圖象通過變換而得到y=-lg∣x∣+2的圖象？ （此題有些復雜，教師應適時引導：由y = lgx的表達式通過怎樣的變形可得到y = -lg∣x∣+2的表達式？每一步變形代表著什麼圖象變換？如此，大部分學生就能分三步解答此題：先變絕對值符號，再變負號，最後上平移．部分學生還提出瞭另一種變形方法：先變負號，再變絕對值符號，最後上平移．其實，這是學生第一次接觸函數圖象的平移和對稱變換，沒有必要、也不可能要求每一個學生都能立即掌握復雜的變換問題．隻要他們能較好地理解和掌握本節課的相關知識和規律就行．在今後的教學中，還需要對此進行相應的訓練，以鞏固所學．） 通過以上的教學過程，不但使學生直觀形象地理解和比較牢固地掌握瞭函數圖象變換的相關知識和規律，更為重要的是，這使學生在學習方式的轉變方面進行瞭有益的嘗試，學生也積累瞭學習的體驗和經驗，他們從被動地接受知識轉變為主動地參與教學、參與操作、發現知識、掌握知識，成為瞭學習的主人，發展瞭實踐能力和創新精神．當然，經驗的積累、學習方式的轉變、能力的培養，遠不是幾節課就能完成的，這需要教師在平時的教學活動中有目的地進行安排和實施．本節課的實踐，為今後的教學提供瞭有益的例子． Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社