競賽講座－平面三角

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競賽講座－平面三角三角函數與反三角函數，是五種基本初等函數中的兩種，在現代科學的很多領域中有著廣泛的應用．同時它也是高考、數學競賽中的必考內容之一．一、三角函數的性質及應用　 三角函數的性質大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調性、最值等．這裡以單調性為最難．它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復數等分支中均有廣泛的應用．【例1】　求函數y=2sin(-2x)的單調增區間 解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+) 由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z 即原函數的單調增區間為：[kπ-，kπ-]（k∈Z） 【例2】　 若φ∈（0，），比較sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ這三者之間的大小 解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ ∵在（0，）中，y=cosx單調遞減，∴cosφ< cos(sinφ) ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ) 【例3】　 已知x,y∈[-，]，a∈R，且 求cos(x+2y)的值 解：原方程組化為 ∵x,-2y∈[-，]，函數f(t)=t3+sint在[-，]上單調遞增，且f(x)=f(-2y)∴x=2y，∴cos(x+2y)=1 【例4】　求證：在區間（0，）內存在唯一的兩個數c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．證明：考慮函數f（x）＝cos（sinx）－x，在區間[0，]內是單調遞減的，並且連續，由於f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．對上式兩邊取正弦，並令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c 顯然c∈（0，） 且由y=sinx在（0，）上的單調性和d的唯一性，知c也唯一 故存在唯一的c＜d，使命題成立 【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ 比較α、β、γ的大小 解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ< ∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ 作出函數y=ctgx在（0，）上的圖象，可看出：β<α<γ 【例6】　 n∈N，n≥2，求證：cos·cos· ··· ·cos> 證明：∵0<<<···<<<1，∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，…，n ∴(cos·cos· ··· ·cos)2>(·)·(·)·(·)···(·)=·>>()2，∴cos·cos· ··· ·cos> 二、三角恒等變換眾多的三角公式，構成瞭豐富多彩的三角學 要靈活地進行三角恒等變換，除熟練地掌握三角公式以及一般的代數變形技巧外，更重要的是抓住三角式的結構特征，從角和函數名入手，深入分析，靈活解題 【例1】（1）已知cosβ= -，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα的值 （2）已知sin(-α)= ，求的值 提示：（1）sinα= （2）sin2α=1-2 sin2(-α)=；= 【說明】三角變換重在角的變換 【例2】求coscoscos…cos的值 解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ=，得coscoscoscos= -，∴coscoscoscos= 又coscos=，cos=，∴coscoscos…cos=××= 解法2：coscoscos…cos=··· ··· ·== 解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，取α=、 【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值 解：由倍角公式得cos4θ=()2= (1+2cos2θ+cos22θ)= +cos2θ+cos4θ，∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)= +(2cos60° cos20°- cos20°)= 【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值 解：令θ=-β，則(1)÷(2)得tg=， cos(α+θ)=，∴sinαcosβ=sinαsinθ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = - 【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數，0<θ<π，求θ 解法一：由偶函數的定義，可得(cosθ+sinθ)sinx=0對任意x∈R成立 ∴cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+)=0，∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ= 解法二：由f(-)=f()，得θ=，然後驗證f(x)是偶函數 【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩根α、β，求實數a的取值范圍，以及α+β的值 解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin (x+)= - 令t= x+，則t∈(，)，sint= - 作出函數y= sint，t∈(,)的圖象：由圖象可以看出：當-1< -<1且-≠即-2<a<-或-<a<2時，sint= -有相異兩根t1、t2，原方程有相異兩根α、β，並且當-2<a<-時，t1+t2=(α+)+(β+)=π，α+β=；當-<a<2時，t1+t2=(α+)+(β+)=3π，α+β= 【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值 解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)= -，同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= - ∴x，y，z中任意兩角的終邊夾角為，不妨設x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，∴x= z++2(m+n)π，x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)=0 【說明】如能熟練運用下列公式，可對解題帶來很大方便：sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，tgαtg(+α)tg(-α)=tg3α 如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)= 上一篇范文： 高中數學競賽大綱（修訂稿）2下一篇范文： 2003年第二屆國際女子數學奧林匹克試題 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社