三角函數圖象變換課例

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提要 本課例通過讓學生使用TI-92PLS圖形計算器對不同幾組三角函數解析式、圖象的對比、觀察、分析，同時教師進一步通過幾何畫板的動畫輔助演示，再讓學生觀察、分析，猜想、進而由學生歸納出三角函數的三種變換中：振幅變換、周期變換、平移變換的一般特點，從而逐步加深對函數圖象的初等變換的認識． 主題詞 三角變換 觀察 動畫演示 教學過程： 一、新課引入： 師：前面我們學習瞭正弦函數y=sinx的圖象和性質，請同學說出它的定義域、值域、奇偶性、周期及單調區間？ 生：定義域：R，值域：[-1，1]，奇函數，單增區間：[]單減區間：[] 師：回答的很好，那麼形如函數的定義域、值域、奇偶性、周期及單調區間又如何呢？ （一片茫然，沒有學生回答） 師：大傢別著急，今天我們就要來學習它們的圖象和性質，並通過它們的圖象和性質進一步來探究它們的圖象與y=sinx圖象會有什麼樣的關系． 二、動手實驗： 下面請大傢用圖形計算器在同一坐標系分別輸入以下幾組三角函數的圖象，並觀察每一組圖象的定義域、值域、周期、單調區間及其再觀察每一組圖象相互之間的關系、特點，然後進行小組討論、交流． 第一組： 第二組： 第三組： （教師巡視，同時指導學生註意輸入中經常出現的幾個問題：窗口調節、弧度與度的單位轉換、及其如何利用在同一坐標系同時畫圖和利用功能鍵進行追蹤和如何利用其它鍵進行的放大等等．） 三、師生交流： 師：從下列第一組圖1，你有什麼體會？ 圖1 師：的定義域、值域、周期分別是多少？ 生：的定義域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：應該與y=sinx的一樣還是 師：不錯，那麼呢？ 生：的定義域x∈R，值域：y∈［－，］，周期： 師：很好，那麼它們三者之間的圖象有什麼關系呢？ 生：好象它們之間有一定的伸縮關系 師：能不能再說得具體一點嗎？ 生：伸縮倍數是不是與2和有關呢？ 師：大傢探究和分析的很好，是不是這樣呢？不過別著急．下面請大傢先看大屏幕幾何畫板的動畫演示 （老師心喜：他們能夠說出“伸縮”二字，而且發現與2和有關，隻是猜想不知是否正確，此時，利用動畫演示有助於驗證他們的猜想） 圖2 演示1：拖動點C,請大傢觀察圖象上D、E的運動，在橫坐標相同的條件下，縱坐標的變化，同時註意比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx） 圖3 演示2：拖動點B，觀察圖象y=sinx與y=Asinx圖象，當A發生變化時，點D、E的縱坐標的變化，同時註意比值的變化．（改變A的值，整體對比y=sinx與y=Asinx的關系） 進一步引導,觀察,啟發： 師：通過上述大傢的實驗、和我剛才的幾何畫板演示，你又有什麼體會？ 生： 函數y=1/2sinx的圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的 倍而得(橫坐標不變)，函數y=2sinx圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的2倍而得(橫坐標不變) 師：太好瞭，回答完全正確． （演示進一步鞏固瞭他們的猜想） 教師總結： 一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A11)的圖象可以看作把正弦曲線y=sinx上的所有點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的．我們把這種變換簡稱為振幅變換． 第二組： 師生交流： 師：和第一組一樣，你們有什麼體會？ 圖4 師：與的定義域、值域、周期分別是多少？ 生：與的定義域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一樣，周期是多少看不出來，反正它們的周期顯然不一樣． （學生從圖形計算器屏幕看到的的確如此，它們的周期明顯不一樣） 師：是的，他們的圖象差別太大，但是可以看出一個周期較小，一個較大． （教師想通過周期的不一樣來突破周期變換） 現在我給大傢演示兩個動畫3． 圖5 演示1：拖動點A （A、B,它們分別在各自的圖象上）在縱坐標相同的條件下，觀察A、B的橫坐標的變化，以及的比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx的關系） 演示2：拖動點B, 改變W的值，再觀察上述的變化．（改變W的值，進一步觀察y=sinx與y=sinWx的圖象關系） (該環節的演示要慢，要讓學生註意觀察比值的不變特點) 圖6 進一步引導, 觀察啟發: 師：通過上述你的實驗、和幾何畫板的動畫演示，你又有什麼體會？ 生：函數y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)而得到的 函數y＝sin，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)而得到 （的確難得，他們能發現影響周期的量是W瞭，這樣也為下一節課周期的教學作好準備） 師：大傢已經能通過第一組的變換特點，類比的方式得到它們之間的關系，真的很不錯．那麼誰能把y=sinωx圖象與y=sinx的圖象作比較 ，說出它們之間的關系嗎？ 生：函數y=sinωx, x∈R (ω>0且ω11)的圖象，可看作把y=sinx所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變） （鼓勵學生用自己的語言來歸納，總結） 師：有進步． 總結： 一般地，函數y=sinωx, x∈R (ω>0且ω11)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變）．我們把這種變換簡稱為周期（或者伸縮）變換． 第三組： 圖7 師：它們的定義域、值域、周期分別是多少？以及它們的圖象關系又有如何關系？ 生：定義域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，圖象似乎與我們以前學過的具有平移關系． （因為高一學習過一些簡單的平移，學生對平移的說法可以很快的提出） 師：回答的十分正確．那麼大傢再用功能鍵追蹤，觀察它們的平移的方向和平移的單位有什麼特點？ （由於學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結果是一個數，不會帶有的單位，讓學生註意進行換算，幾分鐘後） 師：請大傢看我用幾何畫板的動畫演示4． 演示1：拖動點C,觀察變化．（觀察平移的單位） 演示2：拖動點B,改變B的值，觀察平移的方向．（讓學生去發現：從左邊移動(B>0)，從右邊移動（B<0） 圖8 引導,觀察,啟發： 師：通過上述實驗、和幾何畫板演示的結果你有什麼體會？ 生：函數y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平行移動個單位長度而得到 .函數y＝sin(x－)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有點向右平行移動個單位長度而得到 師：太棒瞭，回答的十分正確． 教師總結： 一般地，函數y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當＞0時)或向右(當＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到 (用平移法註意講清方向：“加左”“減右”)，我們把這一變換稱為平移變換 四、運用反思： 1、下列變換中，正確的是 A 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)即可得到y＝sinx的圖象 B 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)即可得到y＝sinx的圖象 C 將y＝－sin2x圖象上的橫坐標變為原來的倍,縱坐標變為原來的相反數,即得到y＝sinx的圖象 D 將y＝－3sin2x圖象上的橫坐標縮小一倍，縱坐標擴大到原來的倍，且變為相反數，即得到y＝sinx的圖象 答案：A （可以讓學生使用機器來驗證自己的回答是否正確，尤其是C和D的回答） 2． 師：大傢可以選擇變換路徑 （由於前面都是單一的變換，可以提示學生先選擇變換路徑） 生： 即把y=sinx圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再把得到的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的1/2，然後把圖象上的所有點向右移動個單位． 師：有不同意見嗎？ 生：是的，基本就是這樣． 師：從一定是向右平移個單位嗎？ 生：是啊 （全體學生感到納悶，老師為什麼這樣問呢．） 師：好吧，請大傢用計算器實驗，看看他說的是否正確？ 生：我輸入圖象看，平移的數據似乎不對，到底是多少呢？ （由於學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結果是一個數，不會帶有 的單位，可以讓學生進行換算來回答，但是幾何畫板可以動態變化和計算） 師：請大傢再看我的演示：拖動點A,觀察點A、C橫坐標的變化．（觀察它們距離的單位刻度是多少．） 圖9 生：我知道瞭，應該是向右平移，而不是 師：不錯應該是應該是向右平移，這是我們經常會犯的錯誤，一般地，函數的平移是指變量的變化量，所以要把函數化為從中可以看出，所以應該是向右平移 （這時學生在做次類題目，經常容易犯的錯誤，應引起足夠的重視） 五、小結與思考： 今天我們學習瞭三種三角函數：形如圖象是由y=sinx的圖象怎麼變換得到，我們分別把三種變換分別稱為振幅變換、伸縮變換、平移變換． 思考： 上述三種三角變換適應於三角函數的圖象外，是否也適應於一般函數的圖象的變換嗎？請同學們下去通過今天學習的方法用圖形計算器探索、思考下列幾組函數圖象的關系 1、與 2、 3、 （讓學生下去動手實踐，、探索和驗證，也為後期函數圖象變換的學習作準備） 六、作業： 七、教學反思： 1、本節課是以學生探索為主，教師點撥、啟發、引導和利用幾何畫板的演示為輔．通過TI-92PLS圖形計算器進行教學學習和探究活動，獲得TI計算器正弦波函數性質等數學問題的體驗；認識現代信息技術對學習數學知識和探究數學問題的價值．借助已知知識提出問題，體現教師為主導，學生為主體的原則，整個教學過程為：提出問題探索解決問題運用反思提高． 2、以前該部分內容的教學通常是通過取值、列表、描點、畫圖然後靜態的讓學生觀察、總結，最後得出它們之間圖象變化的特點，如下圖所示． （振幅變換） （周期變換） （平移變換） 不僅教學內容少，而且課時需要多（以前至少需要2課時）、課堂氣氛枯燥、學生參與的活動少、學習的積極性較低．通過信息技術的使用，改變常規教學中處理方式，利用圖形計算器讓學生實驗、觀察、體會和交流，然後再通過幾何畫板的輔助教學演示，使得振幅變換、伸縮變換、平移變換變得形象、直觀，學生易於理解和掌握，不僅一節課完成瞭三種變換而且學生的興趣濃厚、參與活動多、課堂氣氛活躍，使課堂教學落到瞭實處，主體作用得到瞭真正的體現，綜合能力和素質也得到瞭培養，這充分體現瞭信息技術具有的優勢． 3、但值得商榷的是：原來教學的“五點作圖法”繪制函數圖象，再討論參數所起的作用，這裡用技術馬上就畫出函數圖象，並觀察規律得出結論，所以“五點作圖法”在技術面前如何處理會更好． Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社