整數的整除性

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．整數的整除性的有關概念、性質（1）整除的定義：對於兩個整數a、d（d≠0），若存在一個整數p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a 若d不能整除a，則記作da，如2|6，46 （2）性質1）若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數m有bm|am2）若a|b，b|a，則|a|=|b|;3）若b|a，c|b，則c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互質，則b|c；5）若b|ac，而b為質數，則b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數（這一性質還可以推廣到更多項的和）例1（1987年北京初二數學競賽題）x，y，z均為整數，若11｜（7x+2y-5z），求證：11｜（3x-7y+12z） 證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而11｜11(3x-2y+3z),且11｜(7x+2y-5z),∴11｜4(3x-7y+12z)又(11,4)=1∴11｜(3x-7y+12z).2.整除性問題的證明方法(1)利用數的整除性特征（見第二講）例2（1980年加拿大競賽題）設72｜的值 解72=8×9，且（8，9）=1，所以隻需討論8、9都整除的值 若8｜，則8｜，由除法可得ｂ＝２ 若9｜，則9｜（a+6+7+9+2），得a=3 （2）利用連續整數之積的性質①任意兩個連續整數之積必定是一個奇數與一個偶數之一積，因此一定可被2整除 ②任意三個連續整數之中至少有一個偶數且至少有一個是3的倍數，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除 這個性質可以推廣到任意個整數連續之積 例3（1956年北京競賽題）證明：對任何整數n都為整數，且用3除時餘2 證明∵為連續二整數的積,必可被2整除.∴對任何整數n均為整數,∵為整數,即原式為整數.又∵，2n、2n+1、2n+2為三個連續整數，其積必是3的倍數，而2與3互質，∴是能被3整除的整數.故被3除時餘2.例4一整數a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明∵a2+23=（a2-1）+24，隻需證a2-1可以被24整除即可.∵2.∴a為奇數.設a=2k+1(k為整數),則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1為二個連續整數，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）為三個連續整數，其積必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3a，∴3|（a2-1）.3與8互質,∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整數的奇偶性下面我們應用第三講介紹的整數奇偶性的有關知識來解幾個整數問題.例5求證:不存在這樣的整數a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④證明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇數，∴左端a為奇數，bcd-1為奇數.同理,由②、③、④知b、c、d必為奇數，那麼bcd為奇數，bcd-1必為偶數，則a（bcd-1）必為偶數，與①式右端為奇數矛盾.所以命題得證.本站會員請點擊頁面底部的藍色文字廣告以支持免費資源(本篇論文不扣點數） 謝謝！！Google廣告，絕無病毒惡碼，請放心！ 上一篇范文： 高三復習平面向量測試題下一篇范文： 高考教學\高考第一輪復習數學單元測試卷數列、極限、數學歸納法 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社