例談TI圖形計算器與高中數學教學的整合

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提要 高中數學課程標準倡導的基本理念中，明確提出註重信息技術與數學課程內容的整合，信息技術與課程整合的含義是什麼？ “整合” 如何實現？本文通過筆者在教學中的實踐，從改變學生的學習方式、為學生提供“多元聯系表示”的學習環境、為學生創設探究學習的情景三個方面談瞭實現“整合”的一些做法及一些教學後的體會 主題詞 TI圖形計算器 課程整合 一、信息技術與高中數學課程整合的含義 信息技術與課程教學整合是一個包含著多種思想、多樣實踐的概念．華南師范大學教育技術研究所李克東教授認為：信息技術與課程整合是指在課程教學過程中把信息技術、信息資源、信息方法、人力資源和課程內容有機結合，共同完成課程教學任務的一種新型的教學方式．它的基本思想包括三個基本點：要在信息化環境中實施課程教學活動；對課程教學內容進行信息化處理後成為學習者的學習資源；利用信息加工工具讓學生知識重構．信息技術與課程整合可以改善學生的學習方式，改善學習資源和學習環境，提高教學質量，也可以在一定程度上提高學生的信息素養，信息技術與課程整合的最高目標就是要有效地改善學生的學習． 基於上述認識，為瞭實現整合的最終目標，教師應當非常重視學生對數學知識的意義建構，通過創造性的教學設計，向學生提出有挑戰性的學習任務，引導學生借助信息技術工具自己動手操作，通過積極主動的思考、同學之間的協作而提出自己的假設和猜想，並用信息技術工具進行試驗和驗證，從而奠定對數學知識的認識基礎，最後再通過邏輯推理論證而獲得對知識本質的認識．教師還應當利用信息技術，為學生提供探索和學習新知識、應用數學知識解決各種問題的強有力的支持． TI圖形計算器是基於教師的教和學生的學而專門設計的，它更符合學科教學的要求，更適應學生學習的要求，在TI手持技術的支持下，數學知識的多樣化表達方式可以極大地拓展數學學習空間，有力地支持學生的學和教師的教，使高水平的、深層次的數學思維活動獲得有力的支持，使學生自主探究式學習成為可能並得到落實，它隨時隨地的特點使學生更容易發揮其主體作用． 二、TI圖形計算器與高中數學教學整合的實踐 （一）、利用圖形計算器改變教師教學方式，促使學生學習方式根本轉變 在信息技術與數學課程的整合教學中，教師要改變“一支粉筆，一本書，從頭講到尾”的教學方式，應該借助信息技術工具，對教材內容進行重新設計，改變它的呈現方式，在教學活動中成為一個活動的組織者，輔導者，學生數學思維的促進者，才可能讓學生的自主學習得到落實，才能發揮學生的潛能以及信息技術所帶來的豐富的學習資源的作用 教學案例：一元二次不等式的解法 教學過程： 師：大傢知道，函數圖象是除函數解析式外的又一種表達形式，它能將自變量x與因變量y之間的依存關系(依存關系由函數解析式確定)直觀地反映出來，是反映兩個變量變化關系的“無字天書”，現在，請同學們畫出函數y = 2x – 7的圖象，然後跟蹤圖象上的點，觀察這些點的坐標變化關系，特別註意縱坐標y>0、y=0和y<0時，點在圖象上相對於x軸的位置和此時橫坐標的大小，如圖1． 生`1(實驗、討論、歸納後)： 函數y = 2x – 7所表示的直線與x軸交點的橫坐標x=3.5是方程2x – 7 = 0的根，直線在x軸上方（或下方）的點的橫坐標的集合x > 3.5(或x < 3.5)是不等式2x – 7 > 0(或2x – 7 < 0)的解集． 師：同學們可以再任意畫出幾個一次函數的圖象，進行同樣的觀察，思考，歸納出“三個一次”（一次函數、一次方程、一次不等式）間的關系． 生2(實驗、觀察、討論後)：一次函數所表示的直線與x軸交點的橫坐標是對應的一元一次方程的根，直線在x軸上方或下方的點的橫坐標的集合就是一元一次不等式的解集．師：總結的非常好!現在請同學們用類比的方法研究“三個二次”的關系． (有瞭研究“三個一次”的成功體驗，同學們熱情高漲，學習興趣調動瞭起來，馬上開始積極的實驗探索和討論…) 生3:畫出函數y＝x2－x－6的圖象並跟蹤圖象上的點發現，方程x2－x－6 = 0的兩根是x = 3或x = -2，即圖象與x軸交點的橫坐標，不等式x2－x－6 < 0的解集是 –2 < x < 3,不等式x2－x－6 > 0的解集是x < -2或x > 3，即圖2和圖3的陰影部分．所以，知道圖象與x軸交點的坐標，就可以知道對應二次不等式的解集和二次方程的根． 生4：畫圖發現，二次函數的圖象與x軸的位置關系有共有3種情形(圖4)，不同的函數圖象對應的方程的解和不等式的解集不相同，所以，應先根據二次方程的判別式的值判斷圖象與x軸的交點情況(>0時有兩個不同的交點，<0時無交點，=0時有一個交點)，作出函數圖象後，再根據圖象寫出不等式的解集． 師：觀察仔細，討論嚴謹！當二次函數中各項系數為字母時，一定要註意對的取值進行分類討論，進而確定二次不等式的解集．事實上，求任意不等式f(x)>0的解集，實質就是畫出y=f(x)的圖象,然後根據函數圖象，“看圖說話”寫出解集即可．大傢不妨課後再舉幾個不等式的例子試試看． 剛才大傢討論瞭ax2 + bx + c >0 在a > 0時的解集，a < 0 時又如何求解？ 生(眾)：直接作出函數y = ax2 + bx + c (a<0)的圖象求解或利用不等式性質轉化為a > 0後求解． 課例總結：傳統教材在處理方程、不等式與函數的關系時一般是出示一個具體的函數圖象，並以列表的形式由教師或教科書直接給出兩個變量的幾組對應值，然後結合圖象對數表進行分析，進而總結出三者間的關系，而對不同位置的二次函數圖象對應的不等式解集的討論，則直接按方程的判別式Δ>0，Δ=0，Δ<0就分為瞭三種情況．在這樣的教學過程中，就存在著一系列的問題：表格中的這幾組對應值如果換成另外幾組對應值還能得到同樣的結論嗎? 是如何想到按方程的判別式Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情況來討論對應的不等式的解集的?正是因為這些問題的存在，就使學生對結論的正確性產生瞭懷疑，不能形成對知識認識的閉合回路，學習過程比較波動．利用圖形計算器，教師可以將教材內容進行重新設計，改變教材內容的呈現方式，教師可以讓學生在反復多次的實驗中進行觀察和思考，自己發現規律，自然地區分出應分別按判別式的三種情形去討論二次不等式的解集，主動地建立起點－坐標－變量的對應值－解(或解集)的鏈接．在這樣的認知環境中，操作、試驗、猜想、發現等過程都變得具體而清晰，數學思維的目的性和思考的程序性大大增強，這就使得學生通過自主的、積極主動的數學思維而成功地建構瞭數學概念，解決數學問題的可能性也大大增加瞭． （二）、利用圖形計算器為學生提供“多元聯系表示”的學習環境 “多元聯系表示”的實質是對同一數學對象給出幾種不同表示，從而使同一數學對象不同方面的特征得到顯示．圖形計算器以其豐富的功能能夠對同一數學對象給出幾種不同表示(數字、圖象、符號等)，可以讓學習者從不同側面來認識數學對象，多角度分析思考數學對象，從而能夠較好地把握數學對象的本質特征，促進思維的發展． 教學案例：函數應用舉例 以下是某地不同身高的未成年男性的體重平均值表(單位：身高cm,體重kg) 身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 體重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 問：(1)、根據上表中各組對應的數據，試找一種函數，使它比較近似地反映該地未成年男性體重關於身高的函數關系，並寫出這個函數的解析式 (2)、若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低於0.8倍為偏瘦，那麼該地某校一男生身高175cm，體重78kg，他的體重是否正常？ 教學過程： 師：數學來源於生活，也應服務於生活，能否應用數學知識解決生活中的實際問題是數學素質的綜合反映．請同學們思考：以上問題如何轉化為數學問題處理？ 生1(經過一段時間思考、討論後)：表中數據反映的是兩個變量身高x與體重y的變化關系，首先應該建立直角坐標系，畫出數組（x,y）的對應點來觀察這些點的變化規律．有瞭點的變化趨勢，才能大概確定用什麼函數來近似反映它． 師：分析得很好!生活中的數據大多是近似值，這給我們的作圖帶來極大的不便，大傢可以用圖形計算器描點畫圖,觀察點的變化趨勢，試著找一種函數來反映它． 生2：將表中數據輸入圖形計算器（圖5），以身高為x軸，體重為y軸建立坐標系，得到散點圖（圖6），根據這些點的走向趨勢，準備用二次函數或指數函數擬合 生3：嘗試瞭幾種函數後發現，用y=a bx擬合的情況如下（圖7~8）： 用y=ax2+bx+c擬合的效果也不錯（圖9~10）： 但是，從兩者的圖象上很難看出它們的細微差別，不知怎樣判斷哪個函數擬合得更準確些？ 師：從圖形上看，的確不容易區別出兩者擬合的優劣，請大傢思考：用什麼方法可以解決這個問題？(這是培養學生數學能力的好時機，教師要留給學生充足的時間思考並參與到學生中一起討論) 生4：可以利用y1(x)和y2(x)的自變量x取C1列的值時的對應函數值與真實值C2的差的絕對值來比較兩者接近程度的好壞，利用圖形計算器可以算出|y1(c1)-c2|的對應數值和|y2(c1)-c2|的對應數值(分別為C3列和C4列的值)，通過數值比較，C3列的誤差比C4列的誤差小，由些可見，函數y1(x)的擬合效果要好一些，所以，函數解析式應為y1(x) = 2.0041.020x 將x =175代入y1(x) = 2.0041.020x 中，得y = 63.98 ,由於78÷63.98≈1.22 > 1.2 ,所以，這個男生偏胖．（圖11） 生5：用誤差的絕對值作相互比較時，由於數值的大小關系並不總是“一邊倒”，因此，通過某幾行對應數值的比較就做出哪個函數預測得準，這樣的的判斷方法是不夠科學的，我們認為，可以求出誤差的絕對值之和或者誤差的平方和(最小二乘估計法)，然後看和的大小，如果和小則認為預測效果好,利用圖形計算器可求得用f(x)=a.bx與f(x)=ax2+bx+c求出的函數值與真實值的誤差絕對值的和分別為6.32與8.20，誤差的平方和分別為2.19與8．（圖12）所以，函數f(x)=a.bx的預測效果好一些． (生5的判斷方法得到瞭大傢的一致贊成) 師：數學傢華羅庚先生說過：“數缺形少直觀,形缺數難入微”．想到用數的差別來比較兩個函數圖象擬合程度的優劣是一種非常好的思路．通過本例，大傢要瞭解數學建模解決實際應用問題的基本方法和步驟，還應養成從不同側面認識數學問題，多角度分析思考數學問題的習慣． 課例總結:在函數的應用過程中學習數學建模、提高分析問題解決問題的能力，激發學生應用數學的意識是高中數學學習的一個重要方面，本例題的解決需要用到符號、數據、圖形、表格等多種表達方式，過去由於受信息技術條件的約束，這種多重聯系的表述在教學中難於實現，圖形計算器應用於教學中，使得這種多重聯系表述在教學中得於實現，多重聯系表述為學生營造瞭一個極具吸引力的學習情景，能夠引發學生的思考，給學生提供瞭一個探索數學規律、發現數學本質的機會，這種信息技術支持下的多元聯系與轉化，比缺乏這種聯系的教學更能培養學生的思維能力．我深深感到，要使學生數學學習的方式產生重大變革，要讓學生的數學學習變得更加生動活潑而富有成效，信息技術與課程整合是必須的，為學生提供“多元聯系表示”的學習環境是教師在信息技術與課程整合的教學中特別需要關註的一項工作. （三）、利用圖形計算器為學生創設探究學習的情景 荷蘭數學教育傢弗賴登塔爾認為：數學知識不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的．在信息技術與課程整合的教學中，教師要創設適當的情景引導學生主動探究、再創造以及建構知識． 教學案例：探究函數的圖像及性質 教學過程： 師：請同學們取a=1,b=1的值畫圖，根據函數圖象說出函數性質 生1：畫出函數圖象後（圖13），利用坐標跟蹤功能可度量出函數圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是1和-1，所以，函數的單調遞增區間是( -∞ ,-1)和( 1 ,+∞)，單調遞減區間是( -1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，圖像關於原點對稱，是一個奇函數． 師：圖象形狀像“耐克”商標，很容易記憶．那麼，這個“耐克函數”的圖象及性質是否還可以深究？例如，圖象在第一象限最低點的橫坐標與a,b的取值有無關系？ (同學們的興趣調動瞭起來，課堂氣氛活躍……) 生2：取a=1,b=4（圖14） ; a=2，b=4（圖15） ; a=4,b=16（圖16）三組數值畫圖並跟蹤點的坐標，可以發現：圖象在第一象限最低點的橫坐標是，所以猜想函數在a>0,b>0時的圖象在第一象限最低點的橫坐標也是．所以，它的性質是…(略) 師：猜想完全正確!以上性質可以作出證明，關於性質的證明我們另找時間完成．大傢還有什麼發現嗎？ 生3：這個函數的圖象有些像初中學過的雙曲線，而雙曲線是有兩條“漸近線”的，所以，我想它是不是也會有兩條“漸近線”？取瞭大量的數值畫圖，檢驗後發現，除x=0 這條漸近線外，確實還有一條漸近線y=ax，(圖17)但不知怎麼證明？ 師：證明需要用到極限的知識，我們不妨先放一放，這裡，我們可以結合函數解析式作一些分析說明：對任意的一個x >0，總有，所以，在第一象限的圖像總在直線y=ax的上方，當x無限增大時，的值趨近於0，從而的函數值從直線上方趨近於相應自變量時的y=ax的函數值，再根據函數圖像關於原點對稱的特點，可知整個函數圖像以直線y=ax為漸近線． 生4：剛才大傢討論瞭函數在a>0 ,b>0時的圖象和性質，a ，b都小於0的圖象（圖18），和a>0, b>0時的圖象（圖19）關於x 軸對稱，性質是…(略) 生5：a , b異號時的圖象（圖20）有漸近線但無最值，性質是…(略) 師：本節課同學們對函數的圖象及性質進行瞭全面的研究和歸納，同學們還有不少新發現，類比聯想的研究方法和敢於實踐創新的探索精神值得大傢學習，現在我們列表歸納函數性質… (略)． 課例總結：圖形計算器可以為學生創設探究學習的情景，更是學生發現知識、探究知識和表達觀點的有力工具，學生通過自主研究和信息的相互交流，不斷提出假設並進行驗證直到解決問題，這樣的教學方式不但提高瞭教學效果，還增強瞭學生學習數學的興趣和成就感，培養瞭他們的創新意識和能力，可以想象，這在沒有技術的教學中是難於實現的． 三、幾點體會 （一）、在數學課程中使用信息技術，應當註意“必要性” 、“平衡性” 、“廣泛性” 、“實踐性” 、“實用性”的原則 （二）、要實現信息技術與數學教學的整合，教師必須更新教育觀念，學習現代信息技術教育理論，自覺提高信息素養 （三）、“整合”的結果要做到“雙贏”： 既要通過“整合”促進學生智能水平的提高，又要在課程教學的過程中傳授信息技術，促進學生信息素養的提高 （四）、信息技術與課程整合不等同於ＣＡＩ（計算機輔助教學），兩者在理念、作用、范疇、目的、實施等方面都有很大的差異 （五）、信息技術與課程整合不是一種固定的模式，而是一種觀念． Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社