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第七屆日本數學奧林匹克競賽試題 問題1 兩個整數相加時，得到的數是一個兩位數，且兩個數字相同；相乘時，得到的數是一個三位數，且三個數字相同 請寫出所有滿足上述條件的兩個整數 （12分） 問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子裡，每個袋裡的球數不同且都裝瞭1個以上 用一臺天平稱重量，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響 看下圖： 當①、③、④的狀態時，警鈴就響；②的狀態時，警鈴不響 請按從小到大的順序寫出裝入5個袋中玻璃球的數量的組合（例如： 1、3、5、7、10），並寫出所有的組合 解答欄中有6組空，但不一定全部使用 （14分） （註：不用考慮袋子的重量） 問題 3把6cm×10cm的長方形沿點線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割 ①分割後的4個圖形，面積可大可小，但它們應該互為相似形 ②分割後的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形 請回答出4種分割方法，並分別在解答欄中用實線畫出 （翻轉後如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法 ）（20分） 問題4 右圖三角形ABC是等腰三角形 AB=AC，BAC=120° 三角形ADE是正三角形，點D在BC邊上，BD∶DC=2∶3 當三角形ABC的面積是50cm2時，三角形ADE的面積是多少？（14分） 問題5 有一隻表分不清長針和短針瞭，多數情況下可根據兩針所指的位置判斷出正確的時間 但有時也會出現兩種情況，使你判斷不出正確的時間 請問從中午12點到夜裡12點這段時間會遇到多少次判斷不出的情況？（12分）（註：不包括中午12點和夜裡12點） 問題6 把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若幹個多邊形 分割後的多邊形的邊數總和比原多邊形的邊數多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍 請問：①原來的多邊形是幾邊形？②把原來的多邊形分割成瞭多少個多邊形？（14分） 問題7 把△ABC滾到△A′B′C′的位置 求△ABC滾動過的面積 （14分）（註：圓周率取3.14）分析與解：問題1 兩個整數相加時，得到的數是一個兩位數，且兩個數字相同；相乘時，得到的數是一個三位數，且三個數字相同，請寫出所有滿足上述條件的兩個整數 分析與解 兩位數中，數字相同的兩位數有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數都可以表示成兩個整數相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16種形式，如果把每個數都這樣分解，再相乘，看哪兩個數的乘積是三個數字相同的三位數，顯然太繁瑣瞭 可以從乘積入手，因為三個數字相同的三位數有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數都是111的倍數，而111=37×3，因此把這九個數表示成一個兩位數與一個一位數或兩個兩位數相乘時，必有一個因數是37或37的倍數，但隻能是37的2倍（想想為什麼？） 把九個三位數分解： 111=37×3 222=37×6=74×3 333=37×9 444=37×12=74×6 555=37×15 666=37×18=74×9 777=37×21 888=37×24=74×12 999=37×27 把兩個因數相加，隻有（74+3=）77和（37+18=）55的兩位數字相同 所以滿足見意的答案是74和3，37和18 問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子裡，每個袋子裡的球數不同且都裝瞭1個以上 用一臺天平稱重量，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響 看下圖 當①、③、④的狀態時，警鈴就響；②的狀態時，警鈴不響 請按從小到大的順序寫出裝入5個袋中玻璃球的數量的組合（例如：1、3、5、7、10），並寫出所有的組合 分析與解 根據題意，a、b、c、d、e袋中裝的玻璃球的數量各不相同 a、b、c、d、e五個袋子裡共裝有26個玻璃球，這26個玻璃球的重量應是相同的，所以五個袋子的重量各不相同 用一臺天平稱重，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響，這一條件，應理解為天平稱得的玻璃球個數是11或多於11個時，超重警鈴就會響 從給出的條件可知： 比較（2）、（3）、（4）式可知，a＜b，a＜d 由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得： 由上面的三個式子可知，b、d兩袋中球的數量是4或3或2或1個，但由於a＜b，a＜d，所以a袋中球的數量是2或1個，b、d兩袋中的球隻能是4或3或2個 進一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數量隻能是8或9個 由此可列舉出符合題意的數組，它們是： （1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10） （1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）問題3 把6cm×10cn的長方形沿點線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割 ①分割後的4個圖形，面積可大可小，但它們應該互為相似形； ②分割後的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形 請回答出4種分割方法，並分別在解答欄中用實線畫出（翻轉後如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法） 分析與解 先來解釋一下什麼是相似形 把一個多邊形的各邊都擴大或縮小相同的倍數後與另一個多邊形的每一對應邊都完全重合，這樣的兩個多邊形就是相似形 例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的 把大長方形沿點線分割成4部分，可以將其分成四個長方形 根據長方形長與寬的不同比值，結合題意，枚舉出每一類可能分割出的長方形，看用哪一類中的4個長方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長方形（為瞭敘述方便，下面省去單位） （一）1×n形（即長方形長與寬的比是1：n，n是整數） （l）最小的長方形是1×1，與它相似的長方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6 可以分割出6×6的長方形（見圖1） 不能分割出5×5的長方形（見圖2），因為不論把5 × 5的長方形放在6 × 10的長方形中的哪一位置，在這個5×5的長方形的上邊（或下邊）的5個小正方形，隻能分割成5塊1×1的長方形，這顯然不合題意 分割出的長方形中最大的不可能是4×4或更小的 因為（4 × 4）× 4= 64＞ 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 × 3）×1=57＜ 6 × 10 （2）最小的長方形是1×2，與其相似的長方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10 不能分割出5×10的長方形（分析同（1）中 5×5） 也不能分割出4×8的長方形（見圖3），因為6×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 24＜32 還不能分割出3×6的長方形 不能分出4個3×6的長方形，因為（3 × 6）× 4=72＞ 6 × 10 不能分出3個3×6的長方形，因為6×10-（3×6）×3=6， 1×2=2＜ 6，2 × 4 = 8＞6 不能分出2個3×6的長方形，因為60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1個 3×6的長方形，因為（3×6）×l+（2×4）×3=42＜60 更不能分割出2×4或回1×2的長方形，因為（2×4） × 4=32＜ 6×10 （3）最小的長方形是1×3，與其相似的長方形有2×6，3×9 可以分割出3×9的長方形（見圖4） 不能分割出2×6的長方形，因為（2×6）×4=48＜ 6×10 （4）最小的長方形是1×4，與其相似的長方形有2×8，這樣的兩個長方形都不能分割出來 因為（2×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10 （5）最小的長方形是1×5，與其相似的長方形有2×10，這樣的兩個長方形都不能分割出來 因為（2 ×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜ 6×10 （6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長方形 （二）對於2×n、3×n、4×n、5×n形的長方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法（見圖5） 也可以把6×10的長方形沿點線分割成其他多邊形（見圖6） 問題4 下圖三角形ABC是等腰三角形 AB＝AC，∠BAC＝120° 三角形ADE是正三角形，點D在BC邊上，BD∶DC＝2∶3 當三角形ABC的面積是50cm2時，三角形ADE的面積是多少？ 分析與解 以點A為中心，由三個三角形ABC可拼成右圖： 連結QE、RF、GD，則DEQFRG是一個正六邊形 連結RD、DQ、RQ，顯然RDQ是一個等邊三角形，並且它的面積是正六邊形面積的一半 S△PBC=S△ABC×3=150cm2， S△RDQ=S△PBC-S△DQC×3=42cm2， S△ADE=S△正六邊形÷6=2×S△RDQ÷6=14cm2 問題5 有一隻表分不清長針和短針瞭，多數情況下可根據兩針所指的位置判斷出正確的時間 但有時也會出現兩種情況，使你判斷不出正確的時間 請問從中午12點到夜裡12點這段時間會遇到多少次判斷不出的情況？（註：不包括中午12點和夜裡12點） 分析與解 當表在某點某分時，經過一段時間後，如果時針恰好走到原來分針的位置，而分針恰好走到原來時針的位置，即兩針位置互換，由於分針、時針分辨不清，所以凡能發生兩針位置互換的兩個時刻都不能正確的判斷當時的時間（如下圖） 兩針位置互換，當時針、分針共走60格時，由於時針走1格，分針走 午12點多至1點多，1點多至2點多，2點多至3點多……夜裡10點多至11點多，共11次 同樣可以算出兩針位置互換時針、分針共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格時，可以出現兩針位置互換的次數分別是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正確時間的次數共有（11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×2=132次 註：題目隻要求我們算出分辨不清時間的次數，所以沒有必要算出具體的時間 問題6 把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若幹個多邊形 分割後的多邊形的邊數總和比原多邊形的邊數多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍 請問：①原來的多邊形是幾邊形？②把原來的多邊形分割成瞭多少個多邊形？ 分析與解 先來觀察下面這組圖形： 容易看出，n邊形有n個頂點，n邊形是由（n－2）個三角形組成的 因此，知道瞭一個多邊形的邊數或頂點數（n），就可以求出它的內角和（n－2）×180°，知道瞭一個多邊形由多少個三角形（m）組成的，就可以求出它的邊數或頂點數（m＋2） 設原多邊形是由a個三角形組成的，分割後的多邊形共由b個三角形組成，a和b都是整數，根據題意有： 1.3×a×180°＝b×180°，於是有1.3a=b 由於b是整數，所以1.3a也是整數，a必是10的倍數，於是1.3a是13的倍數，b也是13的倍數 （一）設a=10，則b=13，進而可知原多邊形有12個頂點（12條邊），而分割後的多邊形有15個頂點（15條邊） 由於連結一個多邊形的兩頂點時，將一個多邊形分成兩個多邊形後，頂點的數目不變，而分出的兩個多邊形比原來增多2條邊 連結多邊形的一個頂點與一邊上一點時，頂點數目增多1個，而分出的兩個多邊形比原來增多3條邊 連接兩邊上一點時，頂點數目增多2個，而邊數比原來增多4條 要增多（15－12=）3個頂點，增多13條邊，有兩種連線方法 （見下圖） 顯然原多邊形是12邊形，兩種連結方法都將12邊形分成瞭6個多邊形 （二）如果a=20，則b＝26，原多邊形有22個頂點，而分割後的多邊形有28個頂點，增多瞭（28－22=）6個頂點，不論怎樣連結都不能使分割後的多邊形邊數總和比原來的多邊形增多13條邊 因此原多邊形不是22邊形 如果a更大，則分割後增加的頂點個數更多，不論怎樣連結都不符合題目要求 因此原多邊形隻能是12邊形 問題7 把△ABC滾到△A′B′C′的位置 求△ABC滾動過的面積（註：圓周率取3.14） 分析與解 畫出△ABC滾動到△A′B′C′的位置時滾動的軌跡圖，如下： △ABC滾動過的面積可分成三部分：第一部分是以R為圓心，三角形的直角邊為半徑的扇形①；第二部分即三角形ABC②；第三部分是以S為圓心，三角形的斜邊為半徑的扇形（③＋④） 分別計算圖中①、②、③、④部分的面積： 由勾股定理可知：AC×AC=AB×AB＋BC×BC=800 分割三角形svf（見上圖），易知分出的三個三角形都是直角三角形，△°×2＋□°=180° 由於 △ABC滾動過的面積是1142cm2 上一篇范文： 通項公式an與前n項和公式Sn的關系．下一篇范文： 課外園地·典型例題 分享到： |
2014年7月9日星期三
第七屆日本數學奧林匹克競賽試題
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