立體幾何入門探討

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立體幾何是高中教學中重要的一部分，也是最難的一部分。可以這麼說：隻要學好瞭立體幾何，整個高中的數學學習基本上就不會有什麼困難。因為對於立體幾何,學生要有嚴密的邏輯思維能力，還要學生有較強的發散思維能力，觀察能力、計算能力，而且貫穿著許多重要的數學思想方法。因此，學好立體幾何尤為重要，但立體幾何的難度和復雜性令許多學生望而生畏。其實,學不好立體幾何與其說是空間想象能力較差，倒不如說是觀察能力和發散思維能力的欠缺。簡單地說，隻要能夠想象一個杯子裡面裝著濃濃的咖啡，散發出濃鬱的香味，他的空間想象能力都是可以的.因此，從某種意義說，一般學生都是可以學好立體幾何的。但在真正的課堂上，為什麼會有許多學生談虎色變,摸不著頭腦呢？其實，究其一個原因，就是沒有入門，沒有掌握思維方法而已。那麼如何入門？如何思維呢？筆者認為學好立體幾何的關鍵是要有較強的邏輯思維能力和發散思維能力,而幾何中的證明問題恰恰蘊涵著這兩種重要的思維品質,因此,對於立體幾何的入門就應該從解決幾何中的證明題開始。下面筆者著重談談如何解決幾何中證明問題，與大傢共勉。 如何解決立體幾何中的證明問題呢？ 首先要對課本中的公理、定理、定義推論要有一個深刻中認識和理解，就是要弄明白這些命題究竟表達的是什麼意思，弄清題設和結論。隻要做好這一步，我們才可以靈活地應用這個定理。例如：高二數學教材第二冊（下A），平面的基本性質公理2：如果兩個平面有一個公共點，那麼它們還有其他公共點，並且所有這些公共點的集合是一條過個公共點的直線。這個公理讀起來會讓人感覺很別扭，不是那麼的順暢，其實它有三層意思：（1）有一個公共點必存在其它公共點（2）有一個公共點，必有一條公共直線（3）有公共點，這些公共點都共線。顯然隻要深刻理解瞭這一公理，我們就可以依據這一公理輕松的解決點共線問題。 其次，要把課本中的定理牢記在心中，當然我要說明的不是要你把定理的語言文字牢記在心中，而是要把它的意思牢記在心中，一般來說這一過程需要多練題反復的鞏固記憶。 以上兩點是我們學好立體幾何證明問題的必備條件。有瞭以上兩點，我們來談談如何解決立體幾何中的證明題：下面我著重從解決證明問題的三種思維模式出發來闡述這個問題，在這裡我不妨叫它三步思維模式： 1、從結論出發尋求證明依據（依據一般定理、公理、推論) 2、從條件出發得出某些相關結論，建立結論與條件的聯系，尋找所需要信息。 3、條件不足，創造條件，達到目的（創造條件一般就是作輔助線，構造特殊圖形） 上述三點是我們解決幾何問題的基本模式，牢固掌握好這三種思維模式是我們學好立體幾何的根本出發點。 當然對於以上三點，我需做些補充說明：（1）對於要證明的結論轉化為另一種形式加以證明（2）尋找所需信息就在多個條件存在下，尋求和本問題有聯系的信息（3）條件不足，創造條件就是在條件與結論聯系不夠緊密，經過上述兩種思維模式思考後，還難以達到目的的情況下，我們需要借助輔助線，構造一些特殊圖形，以此建立條件與結論的聯系。（4）後面所講的定理一般指的是包含瞭公理、推論、定理等、命題，是廣義上的定理。（5）這裡第一、二步其實就是我們數學上的分析法和綜合法，在這裡我僅僅具體化而已。對於以上所述如果感到很抽象的話，下面我著重通過幾個實例來直觀闡述以上三步思維模式的應用。 實例1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設A1C與平面ABC1D1交於Q， 求證：B、Q、D1共線 （1）由結論出發尋求證明依據。 欲證明B、Q、D1共線，聯想哪些定理涉及到共線問題，顯然公理2描述的就是一個點共線問題，為此我們就會想到用公理2來證明本題結論。當然公理2所表達的條件是兩個平面的公共點，那就是說要用公理2來證明共線，就需要證明這些點同時是哪兩個平面的公共點。觀察圖形我們發現這些點可以是很多對平面的公共點。究竟該選哪兩個平面呢？ （2）建立條件與結論的聯系，尋求所需信息。 回到上面的問題，如何尋找這兩個平面？我們來看看條件。題中條件給出瞭A1C與平面ABC1D1交於Q。由此我們不妨著眼於A1C所在平面以及平面ABC1D1，聯系要證明的問題，我們就可以找到兩個平面，即平面A1BCD1與平面ABC1D1，顯然證明它們是平面A1BCD1與平面ABC1D1`的公共點是不難的，因此命題可得證。 實例2 證明：一條直線與三條平行直線相交，那麼這四條線共面 這是一個文字敘述的命題，一般需先由題意畫出圖形，然後寫出已知、求證。 已知：a//b，b//c，a∩d=D，c∩d=F 求證：a，b，c，d 共面 下面我將由三步思維模式探討如何證明這個問題。 （1）尋求證明依據 欲證線共面問題，我們先想想哪些定理涉及到共面問題，有公理3，推論1推論2推論3都涉及共面問題。因此要證明線共面問題就得依據這些命題瞭，但這些定理所涉及到的線隻有兩條，而要直接由這些定理說明四線共面，顯然是難以做到的，下面我們再進入第二步思維。 （2）由條件得出相關結論，建立條件與結論的關系。 經上述分析後，我們遇到瞭麻煩，為此我們不妨審視一下條件，條件中涉及到的是平行線與交線，顯然由定理我們可得出這樣一些結論： 　① 當然,下面隻需證明直線也在平面內即可， 但若沿著這一思路向下論證時，我們發現直接證明在內是不很容易的，我們會遇到難以解決的麻煩。條條大道通羅馬，我們不妨探索一下其它途徑，再回頭重新審視一下條件，同樣可以得到： ② 由①②不難得出： 為此，剛才還感到鬱悶的問題迎刃而解。 實例3 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等。 這是高二數學（下A）教科書P10的定理。下面我主要以三步思維模式談談對這個定理的證明思路。 先將文字語言翻譯為為數學符號語言，寫出已知、求證。 已知： 求證： 這是空間兩個角，存在兩種情況，在同一個平面內或不在同一個平面。對於前一種情況證明較簡單。下面我著重談談當不在同一平面時如何證明。 （1）由結論出發，尋求證明依據 欲證，首先回顧一下哪些定理涉及到角相等問題或者說通過什麼來說明兩角相等呢？有同位角、內錯角、對頂角、圓周角、相似三角形、全等三角形等，那麼哪一個可作為本題的證明依據？審視一下命題題設，不在同一個平面內兩個角顯然不可能是同位角、內錯角、對頂角、圓周角。為此，我們應選擇三角形或三角形全等解決這一問題，而題中沒有三角形怎麼辦呢？ （2）條件不足，創造條件，達到目的 由以上分析我們可初步設想用三角形來解決這一問題，為此我們必須依據這兩個角構造兩個三角形，當然構造全等更容易的多，因此我們可在角的兩邊取線段，連接，從而構造，下面隻需證明即可, 上面的問題就此得到解決。 實例4 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點. （Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC與PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小. 本題是2005年全國Ⅰ高考數學試卷（理科）第18題，我們就此來分析一下本題的解題思路 （1） 要證明面PAD⊥面PCD，由面面垂直判定我們需尋找線面垂直。即一個平面內的一條直線垂直於另一平面即可，那麼如何尋找那條垂線呢？我們由面面垂直的性質知道兩垂平面內垂直於交線的直線必垂直於另一個平面，就是說我們在一個平面內要尋找另一個垂直平面的垂線，我們隻需在這個平面內尋找交線的垂線即可，根據這一思路，我們知道PD = 面PAD∩面PCD，而觀察圖形發現面PCD內直線CD垂直於交線PD，為此我們找到面PAD的垂線CD，下一步隻需證明CD⊥面PAD即可。 （2） 欲求AC與PB所成的角，根據要解決的問題出發，思考哪些定理涉及異面直線所成角的問題，顯然教材中並沒有這一相關定理，為此求異面直線AC與PB所成角我們隻能根據定義將這一空間角的問題化為平面角來解決，我們借助和手段就是尋找異面直線的平行線，使其轉化到同一平面內，當然首先觀察圖形中有無AC與PB的平行線，通過觀察，圖形中並沒有AC與PB的平行線，為此我們需創造條件，作出輔助線，當然作AC與PB的平行線的方法有很多，在這裡我僅僅給出一種作法，其它的供讀者自己探討。找到AC所在的平面ABCD與PB的交點B，過B作與AC平行的直線，延長DC於E，連結BE、PE，可證BE//AC，則∠PBE（或其補角）就是異面直線AC與PB所成的角。下面隻需在△PBE內解出∠PBE即可。 （3） 欲求面AMC與面BMC所成二面角的大小，根據我們所學知識，有兩種解決辦法，①利用射影面積公式，②根據二面角定義直接作出二面角。若利用辦法①，則需尋找某一個面的垂線。若利用辦法②則需尋找二面角棱的垂線。無論哪一種方法，我們都必須解決一個問題，就是尋找垂線。那麼題中條件雖然明顯給出瞭一些垂直關系，但還有一些線間關系我們是不知道的，題目中告訴瞭一系列數據會不會隱藏著其他垂直關系。下面我們計算這幾個幾何體內各個線段的長度，不難計算；不難發現△AMC≌△BMC，這就是說隻需過A作AF⊥MC，連BF，則BF⊥MC，也就是意味著我們可直接作出二面角的平面角。顯然我們可用辦法②來解決。當然能否采用辦法①呢？那就是說我們需找到某一面的垂線即可，分析觀察尋找面PBC的垂線，可能容易的多。欲找線面垂直。可先找面面垂直，即尋找面PBC的垂面。則又需在面PBC內尋找其它面的垂線，又由剛才的結論BC⊥AC不難得到BC⊥面PAC，則面PAC⊥面PBC，則隻需過A作兩垂面的交線PC的垂線，就是面PBC的垂線。下面的問題就可自行解決瞭。 另外，我需要進一步指出的是，以上幾個的問題我們也可以用利用向量這個更普遍，更一般的知識解決它，但在這裡我僅僅探討的是如何思維的問題，對於如何使用向量這一工具需要在讀者熟練掌握向量知識以後自己去探索一下，在這裡我不再贅述瞭。 通過以上四個實例的探討,我們應該可以初步瞭解用三步思維模式解決立體幾何中證明問題的基本思路，其中對於實例1、2、3，列舉的是教科書中的最基礎的內容，目的是能讓初接觸立體幾何的讀者能夠迅速上手而不至於感到困惑，而實例4中除瞭問題(1)是證明問題，(2)(3)兩個問題則是計算求值問題,但你會發現也同樣可以用三步思維模式來思考解決它，這也正說明瞭三步思維模式是解決立體幾何問題的更一般的方法.它是我們學好立體幾何的重要手段，也是提高我們思維能力的重要途徑。 附實例4解答：（Ⅰ）證明：因 由題設知AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因 （Ⅲ）解：在MC上取一點N（x,y,z）,則存在 使 要使 為所求二面角的平面角. Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社