數形結合的思想方法

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數形結合的思想方法 中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形有聯系，這個聯系常稱之為數形結合，或形數結合．因此，中學數學的基本知識也可以相應地分做三大類，一類是關於純粹數的知識，一類是關於純粹形的知識，一類是關於數形結合的知識． 實數、代數式、方程(組)、不等式(組)、函數等是關於數的知識，平面幾何和立體幾何是關於形的知識，數形結合的知識是哪些呢？ 我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系．例如，表示實數與直線上的點之間所具有的一一對應關系的數軸、表示有序實數與平面上的點之間所具有的一一對應關系的平面坐標系、表示復數與平面上的點之間或復數與平面上以某定點為始點的向量之間所具有的一一對應關系的復平面． 建立在這些對應關系上的數學知識有函數的圖象以及曲線與方程作為研究對象的解析幾何等． 有一些關於數的知識，其自身就是借助於形來表述的，也可以算做數形的結合，如銳角三角函數是借助於直角三角形來定義的，任意角的三角函數是借助於直角坐標系或單位圓來定義的． 以上所述是把數形結合作為一類數學基本知識來考慮的，但是，數形結合也可看作是一種數學思想方法．事實上，數學方法總是一定數學知識的內容的反映．例如，數學歸納法來自自然數的皮亞諾公理，方程的解決來自方程的同解原理，證題的綜合法與分析法則源於(條件)命題成立的意義． 作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系．這就是說，當我們把數形結合當做數學思想來應用時，數與形兩者之中，一個為手段(方法)，另一個為目的．事實上，第一種情形數是手段，形為目的；第二種情形，形為手段，數為目的．例如，應用曲線的方程可以精確地闡明曲線的幾何性質，是屬於前一種情形，這是以方程(數)為手段解決曲線(形)的問題．應用函數的圖象可以直觀地說明函數的性質，則屬於後一種情形．這是以圖象(形)為手段來解決函數(數)問題． 把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關於這個方面的考查(即用代數方法研究幾何問題)．本文將以歷年的高考客觀題為例著重說明可以借助幾何直觀性來處理的與數有關的問題． (一)借助於數軸【例1】設命題甲為：0＜x＜5；命題乙為|x－2|＜3，那麼 [ ] A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件 B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 分析 命題乙|x－2|＜3等價於－3＜x－2＜3或－1＜x＜5．從數軸上(下圖)可以看出，甲命題是乙命題的真子集，當甲命題成立時，乙 解 選A． 【例2】已知h＞0，命題甲為：兩個實數 a，b滿足|a－b|＜2h；命題乙為：兩個實數a，b滿足|a－1|＜h且|b－1|＜h，那麼 [ ] A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件 B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 分析 觀察右側數軸(如圖)．a－b是一個點，它在－2h與2h這兩個點之間，a－1和b－1也分別是一個點，它們都在－h和＋h這兩個點之間． ∵乙是甲的真子集， ∴若兩實數a，b滿足乙則必滿足甲，但若滿足甲未必滿足乙， ∴甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件． 解 選B． 註 實數與數軸上的點一一對應，所以，在數軸上，對於數與點可以不加區分．數就是點，點就是數．例如，數5就是點5，數－5就是點－5，又a－b，a－1，b－1各是一個數，從而也各是一個點．點(a－b)在開區間(－2h，2h)內，點(a－1)和點(b－1)都在開區間(－h，h)內．這樣，我們就把數的問題完全看成點的問題，即把代數問題完全看成幾何問題． 還應指出，把a－b，a－1，b－1各看作一數，事實上，也應用瞭換元思想． (二)借助於圖象[ ] A．α＜β 　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．β＜α 解 選C． 【例4】若loga2＜logb2＜0，則 [] A．0＜a＜b＜1 　　　　　　　　　　　　　　　B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．b＞a＞1 分析 根據條件先畫出兩個對數圖象C1和C2(如下圖)，其底數都大於0且小於1．令其中之一表示logax，另一個表示logbx，由於logax＜logbx，∴C1是logbx的圖象，C2是logax的圖象． 又，當0＜a＜1時，logax的圖象越“靠近”x軸，底數越小． ∴ a＞b 解 選B． 對數函數與指數函數互為反函數，其圖象關於y=x對稱．瞭解指數函數圖象的畫法有助於瞭解對數函數圖象的畫法．例如，底數互為倒數的兩個指數函數，它們的圖象關於y軸對稱．又如，當底數大於1時，底數越大，指數函數的圖象越“靠近”y軸(如下上圖)，從而，當底數大於1時，底數越大，對數函數的圖象越“靠近”x軸(如下中圖)．因此，當底數小於1的正數時，底數越小，指數函數的圖象越“靠近”y軸，對數函數的圖象則越“靠近”x軸． 如能熟悉指數函數和對數函數的圖象的大致位置，則看完以上例題之後，可以很快想象出在第四象限中，logbx的圖象應位於logax的上方，從而b＞a． [ ] 容易表示成sinx，而f(x)＝1－sin2x＋sinx，可借助於二次函數的圖象求f(x)的最小值，令sinx＝X有 解 選D 註 解本題應用的數學思想方法主要有換元、形數結合以及關於理論的范圍性． 從三角函數的角度來看，求f(x)＝－sin2x＋sinx＋1的最小值是一個較難的問題，是一個比較陌生的問題．但是，應用換元法，把sinx寫成X，立刻就變成一個比較熟悉的容易問題． 如果隻從解析式X＝sinx或Y＝－X2＋X＋1入手分析去尋求最小值，這又是一個非常抽象的難題，但是，如果把數和形結合起來，畫 取最小值． 本來，一般二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，當a＞0時有最小值，當a＜0時有最大值．這是要求學生必須掌握的一個基本知識．但是，在掌握這個結論時，應該註意其中的條件，通常人們隻知道a的值對最值有影響，而往往忽略這個結論是指自變量x在全體實數范圍內才成立的．這就是說，當定義域是全體實數並且a＜0時有最大值，a＞0時有最小值．而當定義域有所改變時，即使a＜0(或a＞0)也不一定有最大值(或最小值)．從本題可以看出，對Y＝－X2＋X＋1而言，雖然a＜0， 個事實充分說明“理論的范圍性”的重要意義． 【例6】 如圖是周期為2π的三角函數y＝f(x)的圖象，那麼f(x)可以寫成 [ ] A．sin(1＋x) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．sin(－1－x) C．sin(x－1) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．sin(1－x) 分析 從圖中可以看出，f(x)的圖象是由sinx的圖象向左平移(π－1)個單位而得到的．所以，在sinx中，把x換成〔x＋(π－1)〕就得到f(x)，即 f(x)＝sin[x＋(π－1)]＝sin[π＋(x－1)]＝－sin(x－1)＝sin(1－x) ∴應選(D)． 註 從以上三種解法可知，熟悉根據圖象觀察函數的性質以及圖象平移的規律，本題就很容易求解，否則就會變成一個難以捉摸的問題． 【例7】 設函數y＝arctanx的圖象沿x軸正方向平移2個單位所得到的圖象是C，又設圖象C′與C關於原點對稱，那麼C′的對應函數是 [ ] A．y＝－arctan(x－2) 　　　　　　　　　　　　B．y＝arctan(x－2) C．y＝－arctan(x＋2) 　　　　　　　　　　　　D．y＝arctan(x＋2) 分析 與圖象C對應的函數是y＝arctan(x－2)．∵ C′與C關於原點對稱，所以，與C′對應的函數應是－y＝arctan(－x－2)，或為－y＝－arctan(x＋2)，即y＝arctan(x＋2)． 解 選(D)． 註 結合這道題，我們簡略地敘述一下關於圖象的平行移動． 若將函數y＝f(x)的圖象C沿著x軸平移a個單位，得到新圖象C′，則其解析表達式變為y＝f(x＋a)，當a＜0時，C沿著x軸的正方向平移，從而C′在C的右方；當a＞0時，C沿著x軸的負方向平移，從而C′在C的左方． 以上事實，與數軸上的點的移動的觀念正好相反，我們知道，在數軸上的一個點a如果向右移動一段距離，就得加上一個正數，“a＋正數”，如果向左移一段距離，就得加上一個負數，“a＋負數”．依據這個人們已經熟悉的觀念，在談到圖象的平移時可能發生如下錯誤： 當圖象向右平移a個單位時，把其對應的函數寫成f(x＋a)，當圖象向左平移a個單位時，把其對應的函數寫成f(x－a)． 為瞭避免以上錯誤，建議讀者把函數圖象的平移與解析幾何中坐標軸平移結合起來記憶．因為圖象向某一方面平移a個單位，就意味著原點向相反的方向平移a個單位，就是說，把函數圖象的平移與坐標軸的平移看成一回事．例如，圖象向右平移2個單位，就是原點向左平移2個單位，即把x換成x－2；圖象向左平移2個單位，就是原點向右平移2個單位，即把x換成x＋2． 由此容易看出，設函數y＝f(x)的圖象為C，則y＋2＝f(x＋3)就是原點平移到(3，2)，也就是說把C向下平移2個單位同時又向左平移3個單位． 根據以上所說，例7還可以有另外一個更為簡便的解法．由於函數y＝arctanx通過原點，選項B：y＝arctan(x－2)是C向右平移2個單位，選項D：y＝arctan(x＋2)是C向左平移2個單位，所以B和D的兩個函數，它們的圖象正好關於原點對稱，從而D符合題目要求． 【例8】 如果奇函數f(x)在區間〔3，7〕上是增函數，且最小值是5，那麼f(x)在區間〔－7，－3〕上是 [ ] A．增函數且最小值為－5 B．增函數且最大值為－5 C．減函數且最小值為－5 D．減函數且最大值為－5 分析 從圖象上可以看出，f(x)在區間〔－7，－3〕上是增函數，且最大值為－5． 解 選B． [ ] 解 選A． 註 正弦曲線的對稱軸或者通過它的最高點，或者通過它的最低點． 【例10】 如果直線y＝ax＋2與直線y＝3x－b關於直線y＝x對稱，那麼 [ ] C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝6 分析 反函數具有如下性質：互為反函數的兩個函數，其圖象關於y＝x對稱．圖象關於y＝x對稱的兩個函數互為反函數．因此，若把直線的方程y＝ax＋2與y＝3x－b分別看成x的函數，則此二函數互為反函數． 解 選B． 【例11】 設全集I＝x，y∈R，集合M＝{(x，y) [ ] C．(2，3) 　　　　　　D．(x，y) 分析 集合M是直線y＝x＋1，但應挖去點(2，3)(如圖)，集合N是直線y＝x＋1以外的點集(即圖中虛線區域)．集合M∪N是整個 僅有(2，3)，即(2，3)． 解 選B． (三)借助於單位圓[ ] A．是第一象限角 B．是第三象限角 C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角． D．是第二象限角 (1)θ是第二象限角； 先考慮條件(1)． 象限的陰影區域(圖(a))． 選B． 象限． [ ] A．－2，4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．－2，0，4 C．－2，0，2，4 　　　　　　　　　　　　　D．－4，－2，0，4 分析 x的終邊位於坐標軸上時，y值不存在，我們隻考慮0≤x＜2π．由單位圓和三角函數線可知：當x在第一象限時，y＝1＋1＋1＋1＝4；當x在第二象限時，y＝1－1－1－1＝－2；當x在第三象限時，y＝－1－1＋1＋1＝0；當x在第四象限時，y＝－1＋1－1－1＝－2． 解 選B． [ ] 解 選C． [ ] C．〔－π，0〕上是增函數 [ ] 分析 本題可依據反三角函數的定義來判斷． ∴ 選A． 【例17】 當x∈〔－1，0]時，下面關系式正確的是 [ ] 分析 從幾何意義入手判斷． 個關系式的右端均為銳角．每一個關系式的左端均為兩項，第一項均為π(＝180°)；現在分別考查第二項，由於arccos(－x)和arcsin(－x)均為銳角，所以π－arccos(－x)＝鈍角，A不正確．π－arcsin(－x)＝鈍角，B不正確．由於arcsinx為負銳角，所以π－arc－sinx＞π，D不正確． ∴應選C． 註 本題的選項有四個關系式，每一個關系式的兩端各是一個反三角函數．判斷關系式的正確性，就是判斷等號兩端的兩個反三角函數是否相同．根據函數的定義，定義域相同且對應法則也相同的兩個函數才是相同的函數，就是說兩個函數相同的充分必要條件是定義域相同且對應法則也相同．相同的函數，值域自然也是相同的．但是，需要指出，值域相同隻是兩個函數相同的必要條件而非充分條件，因此，當兩個函數的值域不同時可以肯定這兩個函數不相同，而當兩個函數的值域相同時卻不能肯定這兩個函數相同． 考生易出現的問題： (1)有一種解法如下： 二者矛盾，所以否定D． 二者一致．所以應選C．並認為這個解法比較嚴密． 以上解法選擇的結論雖然是正確的，但推理卻是錯誤的．因為僅根據定義域相同和值域相同而肯定兩個函數相同是不充分的．發生錯誤的原因是沒有真正理解函數的概念，當然更為一般地說來是不瞭解概念定義的充要性． 發生以上錯誤，也許是不瞭解題意，沒有把關系式的兩端看成兩個反三角函數，而把關系式的兩端看作是兩個集合．事實上關系式π－ 的． (2)有的人選擇A，理由是： 這個理由是不充分的，因為從兩個角的正弦值相同並不能斷定兩個角也相同． 【例18】 若0＜a＜1，在〔0，2π〕上滿足sinx≥a的x范圍是 [ ] A．〔0，arcsina〕 B．〔arcsina，π－arcsina〕 C．〔π－arcsina，π〕 分析 x的終邊位於陰影區域(即扇形AOB)內(如右圖)．∠AOM＝∠BON，∴ ∠AOM≤x≤π－∠BON，即 arcsina≤x≤π－arcsina． 解 選B． (四)借助於復平面向量對應的復數是 [ ] 分析 因為1＋i對應的向量位於第一象限的平分線上(如右圖)，順 解 選B． 點之間的距離，可以看出，動點的軌跡是一個圓．若從復平面上的向量 量之差的絕對值為定值，亦可得到動向量終點軌跡為圓的結論，因此，解本題可借助數形結合的方法． 該圓與x軸相切，且切點Q對應的復數為－3． 原點O作圓的另一條切線OP，P為切點，則點P對應的復數其輻角主值最小． [ ] 分析 就像一個實數a可以理解為數軸上的一個點一樣，一個復數z可以理解為復平面內的一個點Z或向量OZ． 所以，A和D這兩個選項均不符合要求，都應排除． x軸較近，距y軸較遠，其實部的絕對值應大於虛部的絕對值．所以，應選B． 解 選B． 【例22】 已知z1，z2是兩個給定的復數，且z1≠z2，它們在復平面上分別對應於點Z1和Z2，如果z滿足方程|z－z1|＝|z－z2|＝0，那麼z對應的點Z的集合是 [ ] A．雙曲線 B．線段Z1Z2的垂直平分線 C．分別過Z1Z2的兩條相交直線 D．橢圓 分析 從復平面可知，|z－z1|是線段Z1Z的長度(如右圖)． 由|z－z1|－|z－z2|＝0，有|z－z1|＝|z－z2| 即|Z1Z|＝|ZZ2| 可見，點Z在線段Z1Z2的垂直平分線上． 解 選B． (五)借助於方程的曲線值是 [ ] 分析 把等式(x－2)2＋y2＝3看作一個二元方程，則它的曲線是 第一象限且OP為圓的切線時，k的值最大． 從方程組 解 選D． 【例24】 圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝ [ ] A．1個 　　　　　　　　　　　　　　　　　B．2個 C．3個 　　　　　　　　　　　　　　　　　D．4個 ＝0的位置關系如右圖：O′(－1，－2)是圓心，A(－1，0)和B(0，－1)是直線x＋y＋1＝0與坐標軸的交點． 解 選C． 上一篇范文： 化歸思想方法下一篇范文： 構造思想方法 分享到： Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社