應用圖形計算器學習函數註意“想、作、思”結合

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提要 引入圖形計算器在一定程度上激發瞭學生學習數學的熱情，但僅僅去追求一些新奇的、表面的東西就偏離瞭數學的本質；還應當將這一功能與紙筆運算、邏輯推理、列表作圖之間達成一種平衡，更要發揮信息技術的優勢，追求對數學知識的深刻理解；要讓學生進行高水平的思維活動並非易事。按機器前先想一想，操作中多動腦筋，對圖象、數據的反思尤為重要， “想、作、思”應成為學習數學的一種習慣。 主題詞 圖形計算器 函數圖象 漸近線 操作 思考 普通高級中學實驗教科書（信息技術整合本 數學）第二章《函數》是學生使用信息技術幫助數學學習較充分的一章，特別是圖形計算器畫函數圖象的功能、列表的表達方式，極大地拓展瞭師生教與學的空間，學生的自主探究性學習較易實現。但在現實教學中，我們的良好願望在多大程度上能夠實現，實踐中應註意哪些問題，下面以親身經歷的兩件事談一談應用圖形計算器學習函數學生應註意的問題。 案例一 漸近線 在一次測驗中，為瞭考查學生對基本函數圖象的掌握情況，設置瞭一個畫函數圖象簡圖的題目，其中一個函數是（測驗時不允許使用圖形計算器），讓我感到奇怪的是實驗班（使用信息技術整合本 《 數學》並配有圖形計算器的班級）的部分同學“畫蛇添足”，在y軸負半軸的某個位置畫瞭一個空心點，從這個點引出一條上升的曲線，而非實驗班的同學卻沒有這樣畫的。為什麼呢？我找來出現此種錯誤的學生詢問，他們指著圖形計算器上的圖象說：“上面就是這樣畫的，考慮到對數的真數不能為0，而沒有定義的點應當是空心點，就想當然地這樣畫瞭。”我回憶在兩個班（一個實驗班，一個非實驗班）的教學中對函數圖象的處理情況，實驗班學生依賴圖形計算器畫圖，師生都極少親自描點作圖，非實驗班的同學沒有機器可以依賴，盡管不能接觸豐富的函數圖象，可是所學的幾個基本函數圖象卻是師生共同經歷瞭計算、列表、描點、畫圖的過程，記憶相對深刻，考試中如果考查紙筆畫圖，他們未必處於劣勢。看來，圖形計算器在函數學習中的應用不能簡單地僅畫畫圖象，還應當將這一功能與紙筆運算、邏輯推理、列表作圖之間達成一種平衡，更要發揮信息技術的優勢，追求對數學知識的深刻理解。 學生在測驗中的錯誤反映瞭他們並未真正明白對數函數在x = 0附近的變化情況，對這種“無限接近”的理解有困惑，於是，我提前引入“漸近線”的概念，首先列出函數值表,改變步長（分別設步長為Δx = 0.1, 0.001, 0.0001, ……），觀察函數值在x = 0附近的變化，不論步長如何小，開頭兩行的函數值的差始終保持不變，體會第一行中“”的含義；然後又回到函數圖象，在應該有圖象而沒有顯示出來的地方，用計算器的局部放大功能（zoombox）放大，屏幕上出現一段圖象，它與y軸靠得很近，幾乎與y軸平行。後來再次討論函數時，我們也研究瞭它與函數的圖象的關系，為瞭說明直線是函數的漸近線，仍然同時列出兩個函數的函數值表，設步長為x=10，發現隨著的增大，兩函數值非常接近，有一個同學突然發言“怎麼當x=100時兩函數值相等”，這與推理結論相矛盾的“意外”發現引起瞭學生們的興趣，又有一同學提議輸入函數看看，結果當x=100時函數值並不相等，經過討論，終於認識到都是近似運算惹的禍，表格中的數據要求保留四位有效數字，兩數的差如果小於0.01，屏幕上的顯示結果一樣，當時，與的前四位有效數字一致，但的第四位有效數字是小數點後第四位，因此，上述“意外”又在情理之中。用局部放大功能也顯示，看起來重合的兩條曲線事實上並沒有重合，一次放大不清楚還可以二次放大，三次放大……，直到看清楚，就象顯微鏡一樣，細微的關系也會明明白白呈現在你眼前。 這一案例讓我體會到，學數學的真諦在於思考，同學們面對數學問題時，先不要急於按計算器，想一想，圖象應該在哪幾個區域，走勢會如何，操作計算器驗證，靈活應用多種功能，充分利用多元聯系的表示方法，既要看得清楚，更要想個明白，所謂先想再操作；弄清瞭“是什麼”，思考“為什麼”，“怎麼做”，“說明瞭什麼”等才是深化對數學本質理解的關鍵。因此，我要求學生按照“想、作、思”的步驟使用計算器，動腦筋、勤思考才能學好函數。 案例2 函數圖象大比拼 年輕人總是充滿瞭好奇，學生應用計數算器絕對不僅僅限於教學內容，我們先來看下面來自學生心得體會的摘錄： 同學A：“拿到計算器後，我不停地探索不同的功能，畫許多函數的圖象，通過不同符號的組合畫不同的圖象，記得曾畫過心跳的圖象，從1次到次，從指數到對數，一切想到的函數關系，都能找到一個圖象，隻有想不到，沒有做不到，我們便開始比哪個的更怪異、更好看，尋求其中的對稱美與不對稱美。” 同學B：“學習函數時，有的同學課上課下都在玩計算器器，希望能夠發現一塊別人未曾找到的新大陸；同學們對於把這個計算器玩出名堂的人很崇拜。比如說劉效林，他在教大傢如何表示絕對值時表情很神氣，還有王海晨，他畫出“耐克”函數之後，大傢簡直佩服得不瞭。 同學C：“還有一次我忽然想,,的圖象是什麼，於是就拿起圖形計算器開始按，發現是一些奇怪的圖形；如果沒有計算器，這樣的好奇心與想象力該如何滿足？我可能永遠不會去思考,,之類古怪的函數，計算器啟發瞭我們的好奇心。” 同學D：“大傢都滿懷好奇進入這奇妙的數學世界，一回生二回熟，隨著‘耐克函數’、‘麥當勞函數’相繼誕生，我們畫出的不僅僅是函數的圖象，也是一些優美線條的組合，於是手中的計算器就活瞭，一到下課，前後左右的同學都拿出‘武器’來進行圖形大比拼，比誰的圖象最好看、最復雜、最新奇、最有美學價值，機器似乎變成瞭玩具，我們從中受益匪淺，腦中的數學世界活瞭，寓教於樂，兩全其美，愛數學從圖形計算器開始。” 同學E：一天，同桌拿著圖形計算器給我看上面一個標準的阿迪達思標志，我想這不可能，因為它不可能是一個函數的圖象呀，可眼前的一切都是真的，過後他悄悄告訴我，這是用描點畫圖搞出來的，我高呼上當，後來我也用這種辦法將自己的名字弄到屏幕上，去騙那些還不知道這項技術的同學。又有一次當我輸入時，發現它的圖象是個半圓，我就想能不能弄出一個圓呢，和同桌研究瞭一節課，恍然大悟，再畫一個和它對稱的半圓不就行瞭，解析式應該是，輸進去的結果正如所料，當時那份高興難以形容。” 在許多學生眼中，數學是枯燥無味的，因此，讓學生喜歡數學既是讓學生學好數學的手段，也是改變數學在人們心目中形象的需要。引入圖形計算器在一定程度上激發瞭學生學習數學的熱情，但僅僅去追求一些新奇的、表面的東西就偏離瞭數學的本質。我在想，學生面對各種各樣的圖象時，想過為什麼它會是這樣嗎？“耐克函數”、“麥當勞函數”這樣的名字是怎麼想出來的？同學怎麼將與半圓聯系起來的？通過個別交流、訪談，背後的故事給瞭我一些啟發。 在整合本教材中我們討論過函數，由於它的圖象在第一象限的部分與耐克商標相象，一些熟悉的籃球迷對此倍感親切，於是，在課堂上有同學將它命名為“耐克函數”，命名者受到大傢的推崇，另一同學就想，其它著名商標有沒有可以用函數圖象表示的，因為他回傢經常要路過一傢麥當勞店，他想起瞭麥當勞標志，下課後他提出瞭這一想法，立即引起很多同學的興趣。他們構造函數時首先想到圖象應該關於軸對稱、偶函數，但想到絕對值、二次函數、分段表示的是班上的數學高手。可見，真正的探究源於興趣，創設情景很重要（這一次是同學自己創設的），很多人去研究，但往往隻有少數人才能在關鍵處取得突破，而後通過交流，逐漸傳播開來。過瞭一段時間，我進行瞭一次調查，提出問題者和率先解決問題者，以及少數幾個主要傳播者對情景還記憶猶新，能迅速寫出解析式，多數同學知道有這麼回事，但想不起解析式，也不知道如何解決這一問題。 兩個案例都是發生在教學中的真實故事，既讓我們看到圖形計算器對教師教、學生學的有力支持，也讓我們感到要讓學生進行高水平的思維活動並非易事。按機器前先想一想，面對的數學問題是什麼，猜想一下結果會怎樣，估計一下走勢或圖象，操作中多動腦筋，切忌一按瞭之，對圖象、數據的反思尤為重要，它既是驗證一個問題的結束，更是另外一系列問題的開始，“想、作、思”應成為學習數學的一種習慣。 參考文獻 劉艷雲 應用圖形計算器開發學生的創造潛能 數學教育學報，2004 年1期 黃榮金 技術支持下的數學教學探索 中學數學教與學 2003 年第2期 康傑 圖形計算器在中學數學探究性學習活動中的應用 數學教育學報 2002年11期 史炳星 談談圖形計算器對我國數學教育的影響 數學教育學報 2001年10期 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社