“數形結合”在中學數學中的應用

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數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。數學中兩大研究對象“數”與 “形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合貫穿於數學發展中的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠。一方面，借助於圖形的性質將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，可以獲得準確的結論。“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟瞭一條重要的途徑。數形結合是連接“數”與“形”的“橋”，它不僅作為一種解題方法，還是一種重要的數學思想。 1．“數”“形”結合是推動數學發展 (1)“形”的問題可使用“數”來計算，“數”的關系可以用“形”來表現。 例如解析幾何中將幾何問題代數化，如關於直線斜率、距離、線段定比分點等等，將“代數”與“幾何”相結合起來。 (2)“形”促進瞭“數”的概念的發展，豐富瞭計算方法。 例如無理數的計算，例如、的發現，由邊長為1的直角三角形得。 代數恒等式的證明如圖。 2．數形結合在教學中的運用 數形結合滲透在中學數學中，數形結合的觀點是通過對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映數量間的相互關系，因此數形結合使數和形相互啟發、相互補充、相互印證。 初中代數中就有意識地滲透數形結合的思想和方法。如數軸就是把數和形結合在一起，數軸把點與數的對應關系揭示出來，這樣數量關系常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述。 如：相反數就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數。零的相反數是它本身即原點。如圖： 絕對值表示這個數的點與原點的距離。利用數軸可以準確、快速地確定結論，在下圖中，A點到原點的距離比B點到原點的距離大。 高中數學中，數和形結合的思想更是貫穿始終。如在講函數概念、用文氏圖表示集合的關系；用數軸表示定義域、值域等都體現瞭幾何思想；在三角函數、復數、微積分等中，也利用數形結合，幫助我們更快、更好地解決問題，更容易、更輕松的突破重、難點。 在平面、空間解析幾何……，體現瞭代數的思想。簡而言之，代數教學中充滿瞭幾何的思想，幾何教學中蘊涵著代數的思想。 3．數形結合在解題中的運用 作為解題方法，“數形結合”實際上包含兩方面：一面是“形”的問題,引入直角坐標系，尋找其數量關系式,用“代數”來解決；另一面對代數問題,分析其幾何意義,借助“形”的直觀來解答。 （1） “數”中思“形” 例1. 如果實數滿足方程，求的最大值。 解：不妨設點在圓上，圓心為,半徑等於（如圖）則是點與原點連線的斜率。當與⊙相切，且切點落在第一象限時，有最大值，即有最大值。 因為=，=，所以==， 所以==。 例2. 解不等式： 解: 設，即對應的曲線是以(,0)為頂點，開口向右的拋物線的上半支。而函數的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，此不等式的解在圖象上就是拋物線位於直線上方的部分，故不等式的解集是。 例3.方程，的解分別是，求 解：求上方程的解比較困難，方程的解，可理解為函數與的交點（B點）橫坐標，方程的解為函數與的交點（A點）的橫坐標，函數與的圖象關於直線對稱， A、B關於直線對稱，直線與的交點為C點，所以A、B點關於C點對稱，C點橫坐標是，所以 （2）“形”中覓“數” 例4.求方程的解的個數。 分析：此方程解個數即函數的圖象與函數圖象的交點個數。 因為,，所以在平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖，形中覓數，可直觀地看出兩曲線有3個交點。 例5.已知復數滿足=π ,求的最大值。 解：要求的最大值，即求的最小值，由復數模的幾何意義知即求復數對應的點到點和點的距離和的最小值。如圖 ∵ 滿足=π ∴復數對應的復平面上的點的軌跡是以為端點，傾斜角為的射線。由圖可知，最小值為==,故的最大值是=。 在數形轉化過程中，必須遵循等價轉換原則、數形互補原則。當然在教學滲透數形結合的思想時，應註意培養以下幾點： 1. 觀察圖形，找出圖形中蘊含的數量關系。 2. 正確繪制圖形，反映圖形中相應的數量關系。 3. 切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。 總而言之，“數無形不直觀，形無數難入微” 。見到數量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就應考慮它的代數關系，運用數形結合的思想解決數學問題。因此數形結合思想在中學數教學中起著舉足輕重的作用。 Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社