在高三復習中開展數學探究的實踐與思考

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1 數學探究是新課程改革的需要 新一輪基礎教育課程改革是以培養學生創新精神與實踐能力為焦點，提出教學不隻是傳授知識的過程，也應關註學生潛能的開發、創新意識的形成．教師在教學過程中應與學生積極互動、共同發展．《普通高中數學課程標準》中也提出：倡導積極主動、勇於探索的學習方式，力求通過各種不同形式的自主學習和探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識．新《數學考試大綱》又明確提出“考查綜合與靈活地運用所學數學知識、思想和方法，進行獨立地思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題”．可見高考對學生數學素質、探究能力的要求提到瞭相當的高度．因此，在數學教學中應積極開展探究教學，鼓勵學生進行探究學習． 數學探究教學是指教師在課堂上巧妙地組織，讓學生通過各種各樣的探究活動，諸如觀察、實驗、猜想、論證、交流與討論等，得出數學結論，使學生主動參與教學，並體驗數學知識獲得的過程，幫助學生逐步形成研究數學的積極態度，掌握研究數學的基本方法，發展研究數學的能力．數學探究學習是一種更為重視學生參與過程的學習方式，強調的是學生積極思考、鉆研數學問題的意識，主動參與“做數學”的活動過程．數學探究學習不僅僅是學習方式的改變，而是通過學習方式的改變，促進每個學生全面發展，為每一個學生發展創造更為廣闊的空間，是提高學生數學素質、培養學生能力的一條重要途徑．而非探究學習，課程標準中有關情感、態度、價值觀的很多目標是難以實現的． 2 數學探究是學生發展的需要 在高三數學復習之前，學生已學完瞭中學數學的全部內容，學生頭腦中已積累瞭一定數量的數學知識，既有高中的數學知識，又有初中、小學的數學知識；既有代數方面的知識，又有幾何方面的知識．同時在學習過程中學生的數學能力也得到瞭一定的發展，他們能運用數學知識、方法進行運算、推理和判斷，運用數學語言去交流和表達，運用數學思想去分析、解決一些基本問題，這些正好為數學探究的有效開展提供瞭必備的基礎． 傳統的聽課理解、記憶模仿、練習作業的單一的接受學習，已讓學生對數學的好奇心幾乎喪失貽盡，學習數學的興趣愈來愈弱，使學生上數學課感到單調枯燥、乏味，昏昏欲睡，阻礙瞭學生智能身心的健康發展，學習效率低下．而探究學習正是為瞭彌補接受學習的不足，充分發揮學生主觀能動性，變被動學習為主動學習，進而達到提高學習效率之目的． 3 當前高三數學復習課的現狀 總的說來仍是以“滿堂灌”為主的應試教學，具體表現在：一是課堂容量大，節奏快，學生疲於理解與消化，被動接受和記憶；二是面面俱到的“復印式”知識整理，沒有突出重點、難點和熱點；三是知識梳理簡單羅列，沒有建立系統完整的知識結構，使學生感到復習課是“炒冷飯”，思維難以興奮；四是註重例題的典型性，解題方法的可模仿性，練習設計與范例配套，突出求同思維；五是搞題海戰術，重復訓練，認為見多識廣，熟能生巧，學生學苦，老師教得累；六是隻講結論，不講過程，大量灌輸解題規律，學生死記硬背，想象力、創造力逐漸減弱． 4 在復習備考中如何開展數學探究 高考數學復習是幫助學生梳理完善知識結構，務實基礎知識和基本技能，使學生領悟基本數學思想方法，提高數學能力，發展學生的數學意識和提升數學素養的過程．高考數學命題也積極倡導“加強創新意識的考查，實現選拔功能”． 社會建構主義理論認為：學生隻有參與數學實踐，參與問題探究，才能建立起自己的認知結構，才能靈活地運用所學知識解決實際問題，學生也才能有發展、有創新．數學知識、數學思想方法必須由學生在現實的數學活動中去理解和掌握，而不是單純地依賴教師的講解，依賴機械模仿的方式進行學習．因此在高考數學復習中，教師始終要堅持以學生為首位，要根據復習內容的特點，創設適當的問題情景，鼓勵學生主動地發現數學規律和問題解決的途徑，使他們重新經歷知識形成的過程，通過親身體驗、內化，實現數學“再創造”．從而逐步地提高學生的數學能力，提高學生學習的自主性．那麼如何在數學復習中穿插、滲透數學探究呢？ 4.1 讓學生建構知識網絡 高考數學復習之前，有的數學知識已被學生遺忘，有的數學知識學生模糊不清，有的數學知識雖被記住，但它們在學生頭腦中是孤立的、零碎的、雜亂無章，而知識間是有層次有聯系的，心理學研究表明，良好的認知結構有利於記憶理解、檢索加工、提取應用．因此高三數學復習的一個重要任務就是讓學生將新學知識重新理解記憶、“聯珠編網”，構建自己的知識結構網絡． 在第一輪章節復習和第二輪專題復習過程中，鼓勵學生自己建構知識結構圖，必要時老師給予適當的幫助．具體的做法是：讓學生先進行必要的回顧與閱讀，找出本章或本專題的主要內容是什麼，它們之間有何聯系，是並列關系、遞進關系，還是交叉關系、互推關系？再看各主要內容又包含哪些基本知識點，然後用框圖式表格來表明這些知識的關系． 案例1 函數是高中數學的重點內容，是高考的熱點而且分值高，也是學生學習的難點．函數內容多，與其他知識聯系廣．建立函數的知識結構圖是高考復習的一個重要環節．下面是一學生經過多次修改的結構圖． 通過此圖使函數知識條理化、系統化，便於學生將它納入自已的認識結構，也利於學生將它遷移到其它知識之中．通過探究知識結構圖，一方面可加深學生對所學知識的記憶，理解知識間的聯系，另一方面可以讓學生體驗知識網絡的建構過程，培養學生歸納整理能力． 4.2 讓學生剖析錯誤原因 高三學生許多題目不是不會做，而是做不對、做不全，經常出現一些慣性錯誤，諸如審題錯誤、運算錯誤、邏輯錯誤、表述不規范等，特別是選擇某方法解決問題時，沒有考慮該方法的適用條件、適用范圍，使用該方法應註意的事項等．許多老師都有這樣的體會，有些錯誤老師反復糾正，學生還是一錯再錯．因為糾錯時老師直接把正確解法授給學生，或老師包辦分析錯誤原因，學生成瞭接受信息的容器，沒有真正參與糾錯過程，糾錯效果差是理所當然的．對於這類錯誤，老師一定要精心設計糾錯過程，首先要讓學生暴露自己的錯誤，不能由老師說這是經常出現的錯誤，再讓學生通過觀察、分析、驗證、討論、交流，老師適當引導，使學生真正看清楚錯誤的地方，真正弄清錯誤的原因，是題目條件結論看漏還是看錯？是題意不懂還是想錯？是概念定理、公式不熟還是理解出瞭偏差？是方法選擇不當還是邏輯不嚴密？是思維定式的影響還是考慮問題不周密？是計算問題還是規范問題？真正弄清為什麼不能這樣做、這樣寫？隻有這樣訓練，才能讓學生記憶深刻，才能讓學生以後痛改前非，同時也培養瞭學生辯證思維能力和自我糾錯能力． 案例2 在求數列的通項時，學生最容易把時的當作通項公式，為糾正這一錯誤，我先讓學生做習題：在數列中，已知求.絕大部分學生答案為．解題過程大致是： 由 　　① 得　　　　　② ②—①得：　即　　　　③ 累乘得：，又， 初看起來天衣無縫，接著讓學生反復閱讀題目條件和解題過程，看學生能否發現問題．看到很多學生沒有發現，我提示學生：題中，這樣絕大數學生很快發現，題中，而結論中，矛盾，所以解答是錯誤的．那麼問題出在哪兒呢？再讓學生在解題過程中逐步查找，通過交流、討論，學生終於發現瞭問題：受思維慣性影響，誤把③式成立的條件當成瞭“”，進一步讓學生分析為什麼③式成立的條件是“”？學生馬上便從③式的來歷上找到瞭答案：因為①式成立的條件是，②式成立的條件是，③式等於②式減去①式．以下正確解法便不難得出． 4.3 讓學生研究類典型問題 問題是數學的心臟，數學學習離不開解題．高考也是通過解題來考查學生數學素質的．一個思維信息量大、思維空間廣闊的問題是開展數學探究的前提和保證．因此，在高三復習中，老師可以選擇一些典型習題讓學生開展一題多解，一題多變等方面的變式探究，或研究一些重點、難點問題進深層次研究，如函數的奇偶性、單調性、周期性和圖象的對稱性之間的聯系，以達到復習知識、鞏固方法、培養能力的目的． 案例3 復習不等式的證明，可用下題開展研究性學習： 題目 設，且，求證： 此題有哪些證法？學生很快用綜合法、分析法得出瞭答案，具體過程為： 法1（綜合法） 由 得 ∵ ∴ ∴ ∴ 即 不等式得證. 法2（分析法） 要證明 由於，隻需證明 即證明 由於，隻需證明 即證明，最後不等式顯然成立，不等式得證． 以上二種方法都是不等式的常用證法． 由於比較法也是常用方法，此題能否用比較法證明呢？經過分析條件與結論的差距，有部分學生嘗試成功． 法3（作差比較） 0，即證： 如果教學就此止步，那就錯過瞭培養學生探究能力、創新意識的絕好機會，此題的教育功能就會大打折扣．不等式的證明還有其他方法嗎？能不能用它們證明這個不等式呢？一石激起千層浪，學生陷入瞭沉思摸索之中，下面是學生在老師的引導下，經過艱辛的探索得出的結果： （一）換元法： 法4（均值換元） 設 ，則，且 　∴ 移項因式分解得 ∴ 法5（三角換元） 設， ，令 ， ，代入 得 = 所以 （二）反證法 法6 假設則，，反復使用=2，則，這不可能，故 （三）構造法 法7（構造函數） 不妨設，則 引進輔助函數　求導得 　上單調遞增， 則 即 法8（構造方程） 設是方程的兩根，則， 由得 由　　解得 法9 （構造均值不等式） 結論中等號成立的條件是 由 得： ， 兩式相加得： 即 法10 （構造二項式） 因為 = + ， 所以 法11（構造數列） 由得成等差數列，不妨設，公差 ，即 法12（構造向量） 令 　 再令　　 由 得 ∴ 即 法13（構造立方體） 構造4個邊長為和4個邊長為的立方體．不妨設 ，將這8個立方體按下圖拼接成邊長為p+q的立方體，拼接過程中，將多餘部分（圖1中陰影）挖去，顯然有 法14（構造曲線） 在直角坐標系中作出直線、圓，並借助幾何畫板或圖形計算器作出三次曲線 的圖象． 令 ，， 如圖2 ，則 圖2 法15（構造分佈列） 由於，設離散型隨機變量的分佈列為： P ， ，由 得 ， ，所以 ，即 在探索解法過程中，你有哪些啟示，你還能變換條件或結論得出其它問題嗎？你能類比或聯想得一些不等式嗎？你能證明或否定它們嗎？把你的所思所想記錄下來，讓我們共同分享吧！下面是學生的所得的一些變式題. 變式1：（改變結論）若 變式2：（改變條件）若 則 變式3：（弱化條件）若 且 ，則 變式4：（推廣）若，則 變式5：（引申）若 ， 變式6：（條件、結論互換）若 變式7：（再引申）若 變式8：（再推廣）若 ， ， ，則 ， 波利亞說“好問題同某種蘑菇有類似的結論，大都成堆的生長，找到一個以後，你應當在周圍找找，很可能在附近就有幾個”．本案例通過一題多解，一題多變的探究，既復習瞭不等式的證明方法，又加強不同章節知識間的聯系，優化瞭學生數學的思維結構，享受到瞭成功的快樂． 4.4 利用信息技術開展數學探究 現代信息技術的發展為學生開展數學探究開辟瞭新的局面，網絡資源、數學軟件為數學探究提供瞭新的平臺和新的手段.其中幾何畫板、TI圖形計算器便是大傢公認的優秀數學軟件，它們具有強大的數據處理功能、函數功能、圖形功能、交互式動態幾何功能，利用它們可以進行一些數理實驗，繪制各種圖形並進行動態演示、跟蹤軌跡，為探索數學奧秘構建瞭一個理想的實驗室，給學生的發展提供瞭巨大的探索與實驗空間． 在高三復習過程中，經常遇到一些創新性的、難度較大的問題或者較抽象的問題，對於這類問題，學生一般無從下手，這時就可以利用信息技術的優勢進行驗算、數據分析、作出圖形、追蹤軌跡，由特殊到一般，由直觀到抽象，發現規律，然後進行理性研究． 案例4 （2003年全國高中聯賽15題）一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內一定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A/剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當A/取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合． 這道題對學生來說有一定的困難，難就難在畫圖．但利用幾何畫板或圖形計算器便很容易顯示這些折痕的所在軌跡，是以O、A為焦點的橢圓的外部（如圖3），而且還可以進一步探索當點A在圓O的外部時，則折痕所在直線上點的集合是一雙曲線的外部，最後利用圓錐曲線的定義去證明． 借助信息技術，學生利用各種軟件，可以親手處理數據或繪制圖形，對問題進行主動試驗、猜想、推斷、發現探索，驗證新知識，對學習對象進行多維表征以及多樣化的應用，從而完成對知識意義的構建，達到對知識的全面理解,這樣通過多維表征所建構的知識，能較好地遷移到其他領域，也能使學生有更多的機會動手動腦、思考與探索，學到科學的研究方法，獲得豐富且多方面的體驗，在真正意義上尊重學生的創造性，充分挖掘學生的潛力，有力促進學生創新精神和實踐能力的發展． 5 開展數學探究應註意的問題 5.1 選擇合適的探究性問題 任何一個探究性問題都需要有一定的“知識附著點”，即對學習新知識、解決新問題起支撐作用的原有知識，或者說將其固定於原有認知結構中的那些知識．潛在距離是指“知識附著點”與新的認知目標之間的距離，亦即新舊知識（問題）的接近程度．探究性問題的設計應註意潛在距離的分析，因為“知識附著點”與所探問題的潛在距離的大小，直接影響探究活動的難易穩度和教學水平，一般來說，當兩者的潛在距離較小時，容易為學生所理解和掌握，沒有探究的價值．當兩者的潛在距離過大時，雖能增加探究問題的挑戰性，激發學生的探索欲望，但容易使探究活動難以展開，老師也難以調控．因而在實施探究教學時，必須選取難易適度的學習材料，所探究的問題應在學生思維的最近發展區． 5.2 老師給與適當的指導 由於探究學習並不是把知識從外界搬運到記憶之中，而是以已有的經驗為基礎，通過與外界的相互作用來建構新的理解，因此相應的教學過程就應呈現動態性和生成性，即不僅要求學生積極主動、自主探究，更要求教師給出必要的、科學的、有效的指導，這也就是說，教師在學生探究活動中不應是旁觀者的角色，而就主動地“介入”．但要註意三點：（1）選擇適當的介入時機，介入過早，就可能打破學生已形成的探究氛圍；介入過晚，就可能使得探究活動因無序而無法進行；（2）選擇恰當的腳手架，對“潛在距離”較大，即探究路徑由較多認知節點構成（或某些節點的間距過大）的探究問題而言，教師的重要任務就是搭建合適的“腳手架”，使學生能“跳一跳，夠得到”；（3）選擇恰當的介入方式，教師既是外部監控者，又是參與者和支持者，從而相應的指導方式也應多元化，除去上述的搭建“腳手架”外，還有對話式（民主平等的對話交流），暴露式（暴露教師自己的思路）等． Tags: 數學補習 | 補習社 | dse數學 | 數學最強 | 太子補習社