用研究性學習指導一節數學活動課

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showElementsTop(0); 傳統的數學教學註重的是數學是一門嚴謹的科學，往往忽視瞭它的另一個側面.“創造過程中的數學，看起來卻象一門實驗性的歸納科學”（波利亞），而研究性學習指的是學生對某些數學問題進行深入探討，或從數學的角度，對某些現實生活中或其他學科中出現的問題進行研究，以主動獲取知識、應用知識和解決問題，它更註重學生的主動探索、自主學習、親身體驗、合作交流.在初中數學教學中用研究性學習指導數學活動課對於培養學生的科學研究意識、創造性思維能力和實踐能力具有重要的價值和意義. 一、動課教學案例（人教版義務教育課程標準試驗教科書七年級數學下冊第120頁數學活動） 1、探索二元一次方程組的圖象解法 1.1　再認二元一次方程 1.1.1　提出問題，激發探究欲望 （多媒體顯示兩個方程：①x－y＝0 ②x＋y＝2） 師：請看大屏幕，這兩個二元一次方程各有多少個解？你能把它們的一個解用平面直角坐標系中的點表示出來嗎？請動手畫一畫. （學生已經能夠熟練找出二元一次方程的解，並且已經具備瞭平面直角坐標系的有關知識，這裡教師提出一個新的問題，意在制造認知沖突，充分激發學生的探究欲望） （全班同學認真的在坐標紙上描點，教師在各組間巡視，不時的對需要幫助的學生進行指導.不一會兒，就有不少學生舉手瞭） 師：看來有不少學生已經找到瞭解決問題的辦法，哪位同學願意作“第一個吃螃蟹的人”？ 生A：我先寫出瞭方程的三個解，然後把x的值作為橫坐標，把y的值作為縱坐標，就能夠在平面直角坐標系中描出相應的點瞭，這樣就可以用平面直角坐標系中的點來表示二元一次方程的解瞭. 師：你的想法很好，其他同學還有別的想法嗎？ （老師剛說完，就有一名同學舉手瞭.） 生B：我有一個疑問，按照A同學的作法，隻能在平面直角坐標系中描出有限個點，而二元一次方程有無數個解，怎樣才能把一個二元一次方程的解全部用平面直角坐標系中的點表示出來呢？ （一語道破天機！學生已經把活動的內容都替我想好瞭，真是妙不可言!） 師：你提出的問題很有價值！這正是我們這節課首先要研究的問題.請同學們多寫出幾個二元一次方程的解，再在平面直角坐標系中描出它們相應的點，觀察你描出的點，你有什麼發現？ （學生都很仔細的動手描點，那專註勁兒就不用說瞭！還有幾個小組的學生在彼此交流自己的想法呢.） 1.1.2　大膽猜想，引導發現結論 師：好瞭，大傢都已經畫出瞭相關圖形，現在就請你們把自己發現的規律說一說. 生C：我在平面直角坐標系中描出瞭方程x－y＝0的一部分解，並且過其中的兩個點畫瞭一條直線，我發現我描出的點都在同一條直線上，這條直線經過原點，而且平分第一、三象限的夾角. 生D：我覺得這條直線上所有點的坐標都是二元一次方程x－y＝0的解. 師：何以見得？ 生D：我在這條直線上找瞭一個點（6，6），然後把x＝6，y＝6代入方程x－y＝0中，方程的左右兩邊的值相等. 師：除瞭坐標為整數的以外，還有嗎？ 生E：有,例如點（5.5，5.5）的坐標也滿足方程x－y＝0. 師：你們還有其他的發現嗎？ 生F：我還發現以方程x－y＝0的解為坐標的點都在我畫的這條直線上，例如，我取x＝4.5，y＝4.5，然後描出點（4.5，4.5），這個點恰好在所畫的直線上. 師：好！大傢通過自己(加重語氣)動手描點、畫直線，觀察、探究出瞭一些規律，哪位同學能夠把同學們的發現給予歸納？ 生G：我認為以二元一次方程的解為坐標的點都在同一條直線上，而且這條直線上任意一點的坐標都是這個二元一次方程的解. 師：說的非常好！ （教師的話音未落，教室裡已是一片掌聲） 師：我們把剛才所描的點的全體叫做二元一次方程x－y＝0的圖象，那麼方程x－y＝0的圖象會是什麼呢？ 生：直線！（眾生齊答） 師：剛才同學們都是以方程x－y＝0為例來闡述的，對於方程x＋y＝2是否也有同樣的結論呢？ 生：有！（學生一起回答） 師：B同學，通過剛才的分析，你的疑惑解開瞭嗎？ 生B:老師，我明白瞭.既然二元一次方程的圖象是直線，而直線上有無數個點，這些點的坐標都是二元一次方程的解，這樣就把二元一次方程的無數個解都在平面直角坐標系中表示出來瞭. 1.1.3　應用結論，探索形成方法 師：二元一次方程的圖象是直線，要快速的畫出一個二元一次方程的圖象，采取什麼方法好呢？ （老師的問題一出，學生就七嘴八舌的說開瞭，教師微笑著傾聽學生的爭論……） 生H：隻描一個點就行瞭. 生I：不是，要描兩個點，因為兩點確定一條直線. （生I的話音剛落，生H就據理力爭） 生H：隻要描一個點，然後過原點畫直線就行瞭. 生J：我不同意H同學的觀點，我畫出的方程x＋y＝2的圖象就沒有過原點. 師：看來大傢還有華要說，就請你們在小組內進行討論，究竟采取什麼辦法最好. （學生在彼此交流著、討論著，有些小組的學生還在爭論……） 師：大傢找到最好的辦法瞭嗎？ 生K:我組認為最好描兩個點，而且我們還認為畫方程x－y＝0的圖象時，最好描（0，0）和（1，1）這兩點，因為計算簡單；畫方程x＋y＝2的圖象時，最好描(0,2)和（2，0）這兩點，因為這兩個點在坐標軸上，描點方便. 師：你的解釋太精彩瞭！這樣看來，隻要同學們多觀察、多思考，就一定能發現有價值的可以推廣的規律，說不定將來就要學習各位發現探究出來的知識呢！（學生高興的笑瞭）經過剛才的探究，我們可以看出：二元一次方程的圖象是直線，直線上有無數個點，而二元一次方程有無數個解，無數個解與無數個點，真是“天作之美”!請看大屏幕. (電腦顯示) 【新的數學課程標準強調過程，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知識的體驗.在這個環節的活動中，執教者從學生已有的知識經驗出發，讓學生通過動手描點、畫圖、觀察、討論，自己推測可能得到的結論，從而培養學生直覺猜想的能力；同時，讓學生進行交流、辯論，完善認知結構，讓其經歷前人發現數形結合這種數學思想方法的思維歷程，增長瞭學生的智慧，培養瞭學生良好的思維品質.】 1.2　研究二元一次方程組的圖象解法 1.2.1　動手實踐，發現猜想 師：未來的科學傢們，現在就請你們利用我們剛才發現的結論，在同一個平面直角坐標系中畫出二元一次方程組中兩個二元一次方程的圖象，根據圖象你能得出這個二元一次方程組的解嗎？ （有瞭前面探究的經歷，學生很快畫好瞭圖象，有幾個學生主動拿著自己畫好的圖象在和老師交流） 師：看來，大傢借助前面得到的結論已經畫好瞭圖象，就請同學們把各自的想法在小組內交流，我們看哪些小組把問題研究的最好. （教師在各小組巡視，參與討論，並指導有困難的學生進行觀察、研究，學生最善於討論，有些小組的學生還在爭論呢！） 1.2.2　學術匯報，質疑答辯 （為瞭給學生充分表現的機會，教師組織學生進行研究匯報，在全班開展答辯活動，使學生在答辯中暴露思維，張揚個性，達到思維碰撞的目的.） 師：相信很多同學已經有瞭自己的見解，下面，學術匯報開始，各小組安排好匯報人員，下面聽匯報的同學要認真思考，然後向匯報人員提出質疑，進行辯論. （匯報人員可以把自己小組的研究成果向全班介紹，聽匯報的同學可以向匯報人“發難”，太爽瞭！頓時教室內一片歡騰，同學們都躍躍欲試.這不，第2小組的同學搶先一步.） 生M（第二小組的一名同學）：我組觀察圖象後發現：二元一次方程2x＋y＝4的圖象和x－y＝－1的圖象相交於一點，經過我們認真分析，確認這個交點的坐標是（1，2），我們認為二元一次方程組的解就是，而且我組認為一個二元一次方程組的解就是其中兩個二元一次方程的圖象的交點坐標.下面請大傢對我們組的結論提出質疑. （匯報就這樣結束瞭？未免太簡單瞭吧！肯定會有人提出疑問！這不，有同學舉手瞭.） 生N（第4小組的一位同學）：M同學，你怎麼肯定就是方程組的解呢？ 生M：我們把x＝1，y＝2分別代入方程2x＋y＝4和x－y＝－1中，發現這兩個方程的左右兩邊的值相等，所以是方程組的解. （學生對M同學的解釋報以掌聲，N同學也跟著拍起瞭巴掌.） 師：第2小組的匯報很精彩，他們已經發現瞭二元一次方程組的解與方程組中兩個二元一次方程的圖象間的關系.其他小組還有別的想法嗎？ （大部分同學表示贊同，這時第5小組的同學卻在竊竊私語，看來他們有話要說.） 生Q（第5小組的一名同學）：我們組同意M同學的發言，隻是我們組還發現瞭找不到交點的情況. （會有這樣的事兒？真是一石激起千層浪！教師裡鴉雀無聲，學生等待著……） 生Q：我組對二元一次方程組中兩個二元一次方程的圖象進行瞭分析，發現它們的圖象是平行的，沒有交點，我們解方程組，它無解，我們討論後認為圖象沒有交點，圖象代表的二元一次方程沒有公共解，方程組就無解. 師：太棒瞭！第5小組的同學很有創造性！讓我們用掌聲對Q同學的發言表示感謝！（掌聲響起）其他小組可結合第5小組的發現課後去探索. 師：經過我們的集體合作，交流，發現二元一次方程組有唯一解的時候，我們所畫的兩條直線就相交，即有一個交點，請看大屏幕！（電腦顯示） 方程組有唯一解，兩條直線相交，交點的坐標就是二元一次方程組的解，真是珠聯璧合！這就是數與形的美妙結合，在數學史上，最早發現這種美的是法國著名數學傢笛卡兒. （多媒體展示笛卡兒的照片及相關史料.） 【探究離不開問題，探究是在有效發現、解決問題的過程中的探究，因此探究性學習要側重於學生自主學習和創造性學習.在這個活動環節，教師通過組織學生進行交流、答辯，讓學生找到問題的答案，意在培養學生的合作意識和探究能力，從而提高學生的分析能力和學習能力.】 1.2.3　課外延伸 師：我們已經研究得出瞭如果兩直線相交，那麼這個交點的坐標就是這兩條直線所代表的二元一次方程組的解；第5小組的同學還發現如果兩條直線平行，那麼這兩條直線所代表的方程組就無解.那麼，如果兩條直線剛好重合，則這兩條直線所代表的方程組的解又如何呢？請用方程組進行研究. （作為活動的深化，提出類似的問題，有利於學生對活動的成果和獲得的經驗有更深的體會，使研究活動由課堂延伸到課外.） 2、研究新聞信息 2.1　觀看新聞片斷 1996年的統計資料顯示，全世界每天平均有8000人死於與吸煙有關的疾病，我國吸煙者約3億人，占世界吸煙人數的四分之一.比較一年中死於與吸煙有關的疾病的人數占吸煙者總數的百分比，我國比世界其他國傢約高0.1％. （為使學生感受到“生活中處處有數學”，借助多媒體播放新聞片斷，給學生提供相關資料，激發學生積極主動地捕捉生活中的數學信息，學有價值的數學.） 師：結合新聞內容，大傢盡可能提出有關的數學問題，在小組內交流. 2.2　提出問題 生1：你能用表格反映新聞中的數據嗎？ 生2：全世界吸煙人數有多少？世界其他國傢吸煙人數是多少？ 生3：我國及世界其他國傢一年中死於與吸煙有關的疾病的人數分別是多少？ 師：剛才這些小組的同學提出瞭不少精彩的問題，哪些同學能解決這些問題呢？ （學生已經在各自小組內相互交流自己的想法.） 2.3　建立模型，解決問題 生4：我可以解決生1的問題.（生4在展臺上展示自己制作的表格） 吸煙人數（億人） 平均每天死於與吸煙有關的疾病的人數（人） 死於與吸煙有關的疾病的人數占吸煙者總數的百分比 中國 3 世界其他國傢 合計 8000 生5：我來回答生2的問題.因為我國的吸煙者約3億人，占世界吸煙人數的四分之一，所以全世界的吸煙人數為12億人，世界其他國傢的吸煙人數為9億人. 生6：我可以通過設未知數，把生4的表格進行補充.設我國一年中死於與吸煙有關的疾病的人數為x人，世界其他國傢一年中死於與吸煙有關的疾病的人數為y人，則有下表： 吸煙人數（億人） 平均每天死於與吸煙有關的疾病的人數（人） 死於與吸煙有關的疾病的人數占吸煙者總數的百分比 中國 3 世界其他國傢 9 合計 12 8000 再根據新聞中的其他信息我就可以列出二元一次方程組， 解這個方程組就可以解決生3的問題. 生7：生6的解答有問題，應該把365改成366，因為1996年是閏年，閏年是366天. 師:生7考慮問題很嚴密，值得大傢學習！其他同學還有別的想法嗎？ 生8：我可以隻設一個未知數，列一元一次方程來解決生3的問題.設我國一年中死於與吸煙有關的疾病的人數為x人，則世界其他國傢一年中死於與吸煙有關的疾病的人數為（8000×366－x）人，這樣就可以列一個一元一次方程：來解決生3的問題瞭. 師：同學們的想法都不錯.通過計算我們發現瞭已知統計數據中隱含的更多的信息,借助生6列的表格,數量關系一目瞭然!那麼,由計算結果你們有什麼感想嗎? 生9:吸煙有害健康. 生10:中學生不能吸煙,建議老師、傢長也不要吸煙. 【學生自己提出的問題由學生自己解決，教師隻是活動的組織者和參與者，這樣既有利於鍛煉、提高學生的數學建模能力，也有利於培養學生分析數據、解決問題的能力.同時，在解決問題的過程中,不失時機的對學生進行健康教育，體現瞭數學學科的教育功能.】 2.4　拓展應用 師：通過以上的研究，還能得到哪些數據？ 生11：可以得到我國及世界其他國傢一年中平均每天死於與吸煙有關的疾病的人數. 生12：可以得到全世界一年中死於與吸煙有關的疾病的人數占吸煙者總數的百分比. 師：很好！看來隻要我們善於研究，就可以發現更多的隱含的信息.就請同學們在課後從報刊、圖書、網絡等再搜集一些資料，分析其中的數量關系，編成問題，看看能否用所學的數學知識解決. （對學生的研究活動進行肯定，並鼓勵學生搜集實際生活中的相關資料，嘗試用數學知識解決，有利於學生對活動的經驗體會得更深，對獲得的方法理解得更透.） 3、回顧獲得全程，暢談獲得心得 生13：通過今天的活動，我學會瞭畫二元一次方程的圖象. 生14：畫一個二元一次方程的圖象隻需描兩個點就可以瞭. 生15：我學會瞭用畫圖象的方法求二元一次方程組的解. 生16:我知道瞭數形結合的研究方法，還知道瞭這種方法最早是由法國數學傢笛卡兒研究得到的. 生17：用表格反映數量關系簡潔明瞭. 生18：現實生活中有許多問題可以用我們所學的數學知識來解決. …… 【對活動的過程進行回顧、反思，學生在反思的過程中進一步理解數學活動的價值及數學知識的實用價值，提高學生的動手能力和歸納、表達能力，並用數學的思想方法和思維方式分析、解決實際問題.】 二、對案例的分析與評價 由於已經學習瞭平面直角坐標系、二元一次方程組及一元一次方程的有關知識，這節活動課設計成研究性學習完全符合學生的認知水平，也是對常規課堂教學的一種發展和補充，使數學教學更加開放，更加具有活力，更能激發學生的探究精神和動手意識.結合本案例淺談研究性學習指導活動課的教學價值. 1、常規教學的發展和補充 研究性學習體現瞭建構主義的教學觀，與傳統教學相比，建構主義認為學習要以自己的方式建構對事物的理解，不同的人看到事物的不同方面.在活動課中學生動手實踐、討論驗證、探究交流；有不同的觀點，通過爭論與合作，學生瞭解到不同的觀點和認識角度，從而更加全面的理解事物.本案例中有以下特征： （1）到問題，鼓勵學生敢說、敢疑、敢問、敢討論，使課堂情意共鳴、信息傳遞與反饋、思維活躍的環境. （2）問題拓展，給學生提供再發現，再創造的氛圍；組織學生進行必要的討論和交流，提倡思維無“禁區”，鼓勵不同意見的爭論，倡導課堂超市. （3）在交流中尋求多向、多維的交往形式，增加師生、生生的多維有效活動. 2、培養研究意識和實踐能力 學生的研究意識和能力的提高，不是通過老師的講解或靠書籍上間接經驗達成的，而更多的是通過自己的探究體驗得來.開展活動課教學，在提高學生研究能力方面的價值無法估量.在這堂活動課中，按照“提出問題→研究問題→解決問題→拓展應用”為主線實施，使學生主動學習，體會到觀察、猜想、驗證等研究方法，而且這種解決問題的方法還可以用到其他領域.因此，從某種意義上來講，活動課可能對學生將來所從事的科研工作起著潛移默化的影響，在解決問題的過程中碰到的坎坷經歷，可以培養學生科學的態度和勇於探究的精神. 綜上所述，用研究性學習指導活動課是傳統教學方式的有益補充，對培養和發展學生的創造力、實踐能力有著十分重要的作用，它是一種全新的理念，需要我們在教學實踐中多加探索. 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